Дифференциальное уравнение y’=-(x+y)/x

Вы ввели

d          -x - y(x)
--(y(x)) = ---------
dx             x    

$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{- x - y{\left(x \right)}}{x}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{- x - y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Сделаем замену
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
и т.к.
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
то
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
подставляем
$$u{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} x u{\left(x \right)} + 1 = 0$$
или
$$x \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2 u{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 2 u{\left(x \right)} + 1$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(u)
$$2 u{\left(x \right)} + 1$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и u.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{du}{2 u{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по u,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{2 u + 1}\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с u
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{\log{\left(2 u + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной u.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x^{2}} - \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$y{\left(x \right)} = x u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = x \left(\frac{C_{1}}{x^{2}} - \frac{1}{2}\right)$$

Ответ

         x   C1
y(x) = - - + --
         2   x 

$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x} - \frac{x}{2}$$

Классификация

1st exact

1st linear

Bernoulli

1st homogeneous coeff best

1st homogeneous coeff subs indep div dep

1st homogeneous coeff subs dep div indep

almost linear

lie group

nth linear euler eq nonhomogeneous undetermined coefficients

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral

1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral

almost linear Integral

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, -1.5753968556565754)

(-5.555555555555555, -4.872222492087583)

(-3.333333333333333, -11.083335102682026)

(-1.1111111111111107, -37.694458985635976)

(1.1111111111111107, -55557805910.22126)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 2.787318153179911e+179)

(7.777777777777779, 8.388243566958186e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)