Дифференциальное уравнение y'=2ху

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d                  
    --(y(x)) = 2*x*y(x)
    dx                 
    ddxy(x)=2xy(x)\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x y{\left(x \right)}
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    ddxy(x)=2xy(x)\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 2 x y{\left(x \right)}
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = 0,

    где
    P(x)=2xP{\left(x \right)} = - 2 x
    и
    и называется линейным однородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Это ур-ние с разделяющимися переменными.
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(x)=2xP{\left(x \right)} = - 2 x, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = (2x)dx=x2+Const\int \left(- 2 x\right)\, dx = - x^{2} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=eC1+x2y_{1} = e^{C_{1} + x^{2}}
    y2=eC2+x2y_{2} = - e^{C_{2} + x^{2}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Cex2y = C e^{x^{2}}
    Ответ [src]
               / 2\
               \x /
    y(x) = C1*e    
    y(x)=C1ex2y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x^{2}}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-10102-1
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    almost linear
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    almost linear Integral
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, -3.4383906751963575e-12)
    (-5.555555555555555, 5.457863777130736e-13)
    (-3.333333333333333, 1.0862214289120465e-12)
    (-1.1111111111111107, 9.406776556191615e-13)
    (1.1111111111111107, 7.951338823262765e-13)
    (3.333333333333334, 6.495901090333914e-13)
    (5.555555555555557, 5.040463357405062e-13)
    (7.777777777777779, 3.5850256244762125e-13)
    (10.0, 2.1295878915473618e-13)