Дифференциальное уравнение y'= уlny

Вы ввели

d                        
--(y(x)) = log(y(x))*y(x)
dx                       

$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = 1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx$$
или
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\, dy = \int 1\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const + x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{C_{1} e^{x}}$$

Ответ

            x
        C1*e 
y(x) = e     

$$y{\left(x \right)} = e^{C_{1} e^{x}}$$

Классификация

separable

1st exact

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.07032150337835133)

(-5.555555555555555, -1.0126359261629426e-09)

(-3.333333333333333, -1.4935161770320858e-10)

(-1.1111111111111107, nan)

(1.1111111111111107, nan)

(3.333333333333334, nan)

(5.555555555555557, nan)

(7.777777777777779, nan)

(10.0, nan)