Дифференциальное уравнение y'=xy

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
    d                
    --(y(x)) = x*y(x)
    dx               
    ddxy(x)=xy(x)\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    ddxy(x)=xy(x)\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = 0,

    где
    P(x)=xP{\left(x \right)} = - x
    и
    и называется линейным однородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Это ур-ние с разделяющимися переменными.
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(x)=xP{\left(x \right)} = - x, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = (x)dx=x22+Const\int \left(- x\right)\, dx = - \frac{x^{2}}{2} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=eC1+x22y_{1} = e^{C_{1} + \frac{x^{2}}{2}}
    y2=eC2+x22y_{2} = - e^{C_{2} + \frac{x^{2}}{2}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Cex22y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}
    Ответ [src]
                2
               x 
               --
               2 
    y(x) = C1*e  
    y(x)=C1ex22y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x^{2}}{2}}
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-10102-1
    Классификация
    separable
    1st exact
    1st linear
    Bernoulli
    almost linear
    1st power series
    lie group
    separable Integral
    1st exact Integral
    1st linear Integral
    Bernoulli Integral
    almost linear Integral
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, 2.058806967676944e-09)
    (-5.555555555555555, 4.746244213563444e-11)
    (-3.333333333333333, 1.60031086107531e-11)
    (-1.1111111111111107, -2.198058261798101e-11)
    (1.1111111111111107, -6.324932981618765e-11)
    (3.333333333333334, -6.274447547763939e-11)
    (5.555555555555557, -5.892963092612879e-11)
    (7.777777777777779, -5.5114786374618197e-11)
    (10.0, -5.1299941823107606e-11)