Дифференциальное уравнение y′⋅tgx=y

Вы ввели

d                     
--(y(x))*tan(x) = y(x)
dx                    

$$\tan{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
$$\tan{\left(x \right)}$$
Получим уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = 0,

где
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$
и
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Это ур-ние с разделяющимися переменными.
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = e^{C_{1}} \sin{\left(x \right)}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2}} \sin{\left(x \right)}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C \sin{\left(x \right)}$$

Ответ

y(x) = C1*sin(x)

$$y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)}$$

Классификация

separable

1st exact

1st linear

Bernoulli

almost linear

lie group

separable Integral

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, -1.3746218325149433)

(-5.555555555555555, 0.9169227101624174)

(-3.333333333333333, 0.2627209293823365)

(-1.1111111111111107, -1.2355110244479517)

(1.1111111111111107, 1.235510130760893)

(3.333333333333334, -0.2627210429720619)

(5.555555555555557, -0.9169229857460547)

(7.777777777777779, 1.3746182051619693)

(10.0, -0.7500012834217568)