Дифференциальное уравнение xdx = ydy

Подробное решение

Дано уравнение:
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx x$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx x$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int x\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const + \frac{x^{2}}{2}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$

Ответ

           _________
          /       2 
y(x) = -\/  C1 + x  

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$

          _________
         /       2 
y(x) = \/  C1 + x  

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + x^{2}}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

1st homogeneous coeff best

1st homogeneous coeff subs indep div dep

1st homogeneous coeff subs dep div indep

1st power series

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

1st homogeneous coeff subs indep div dep Integral

1st homogeneous coeff subs dep div indep Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, -2.597191692972768e-09)

(-5.555555555555555, 2.17e-322)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)

(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 2.787318153179911e+179)

(7.777777777777779, 8.388243567356342e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)