Дифференциальное уравнение xydy+ydx=0

Вы ввели

  d                       
x*--(y(x))*y(x) + y(x) = 0
  dx                      

$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
В данном ур-нии переменные x и y уже разделены.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$dy = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int 1\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$y = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$

Ответ

y(x) = 0

$$y{\left(x \right)} = 0$$

y(x) = C1 - log(x)

$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \log{\left(x \right)}$$

Классификация

factorable

nth algebraic

separable

1st exact

1st linear

Bernoulli

separable reduced

lie group

nth linear euler eq nonhomogeneous undetermined coefficients

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters

nth algebraic Integral

separable Integral

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

separable reduced Integral

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 1.001314461877745)

(-5.555555555555555, 1.33778682090566)

(-3.333333333333333, 1.8486126874262636)

(-1.1111111111111107, 2.9472256689878744)

(1.1111111111111107, 39.49494442830555)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 4.2531099749449325e+174)

(7.777777777777779, 8.388243567718866e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)