Дифференциальное уравнение (x – y)dx + xdy = 0

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

с неизвестной функцией  ()
v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =
График: от до

    Решение

    Вы ввели [src]
                 d           
    x - y(x) + x*--(y(x)) = 0
                 dx          
    xddxy(x)+xy(x)=0x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} = 0
    Подробное решение
    Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
    xx
    Получим уравнение:
    xddxy(x)+xy(x)x=0\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)}}{x} = 0
    Это дифф. уравнение имеет вид:
    y' + P(x)y = Q(x)

    где
    P(x)=1xP{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}
    и
    Q(x)=1Q{\left(x \right)} = -1
    и называется линейным неоднородным
    дифф. уравнением 1го порядка:
    Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние
    y' + P(x)y = 0

    с разделяющимися переменными
    Данное ур-ние решается следущими шагами:
    Из y' + P(x)y = 0 получаем

    dyy=P(x)dx\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx, при y не равным 0
    1ydy=P(x)dx\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    log(y)=P(x)dx\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx
    Или,
    y=eP(x)dx\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Поэтому,
    y1=eP(x)dxy_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    y2=eP(x)dxy_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}
    Из выражения видно, что надо найти интеграл:
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx
    Т.к.
    P(x)=1xP{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}, то
    P(x)dx\int P{\left(x \right)}\, dx =
    = (1x)dx=log(x)+Const\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \log{\left(x \right)} + Const
    Подробное решение интеграла
    Зн., решение однородного линейного ур-ния:
    y1=xeC1y_{1} = x e^{C_{1}}
    y2=xeC2y_{2} = - x e^{C_{2}}
    что соотв. решению
    с любой константой C, не равной нулю:
    y=Cxy = C x
    Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
    Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
    y' + P(x)y = Q(x)

    Используем метод вариации произвольной постоянной
    Теперь, считаем, что C - это функция от x

    y=xC(x)y = x C{\left(x \right)}
    И подставим в исходное уравнение.
    Воспользовавшись правилами
    - дифференцирования произведения;
    - производной сложной функции,
    находим, что
    ddxC(x)=Q(x)eP(x)dx\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}
    Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
    Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
    ddxC(x)=1x\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}
    Зн., C(x) =
    (1x)dx=log(x)+Const\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \log{\left(x \right)} + Const
    Подробное решение интеграла
    подставим C(x) в
    y=xC(x)y = x C{\left(x \right)}
    и получим окончательный ответ для y(x):
    x(log(x)+Const)x \left(- \log{\left(x \right)} + Const\right)
    Ответ [src]
    y(x) = x*(C1 - log(x))
    y(x)=x(C1log(x))y{\left(x \right)} = x \left(C_{1} - \log{\left(x \right)}\right)
    График для задачи Коши
    02468-8-6-4-2-1010-200200
    Численный ответ [src]
    (x, y):
    (-10.0, 0.75)
    (-7.777777777777778, -1.371334433361569)
    (-5.555555555555555, -2.848814754961255)
    (-3.333333333333333, -3.412040714991582)
    (-1.1111111111111107, -2.3580269539659593)
    (1.1111111111111107, -2.5478550250485914)
    (3.333333333333334, -11.305605800988467)
    (5.555555555555557, -21.680596230657343)
    (7.777777777777779, -32.96984080405658)
    (10.0, -44.90293946490828)