Дифференциальное уравнение xy`-y=y^3

Вы ввели

          d           3   
-y(x) + x*--(y(x)) = y (x)
          dx              

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y^{3} + y}\, dy = \int \frac{1}{x}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y \right)} - \frac{\log{\left(y^{2} + 1 \right)}}{2} = Const + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = - x \sqrt{- \frac{C_{1}}{C_{1} x^{2} - 1}}$$

y_2 =

$$y{\left(x \right)} = x \sqrt{- \frac{C_{1}}{C_{1} x^{2} - 1}}$$

Ответ

               ____________
              /    -C1     
y(x) = -x*   /  ---------- 
            /            2 
          \/    -1 + C1*x  

$$y{\left(x \right)} = - x \sqrt{- \frac{C_{1}}{C_{1} x^{2} - 1}}$$

              ____________
             /    -C1     
y(x) = x*   /  ---------- 
           /            2 
         \/    -1 + C1*x  

$$y{\left(x \right)} = x \sqrt{- \frac{C_{1}}{C_{1} x^{2} - 1}}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

Bernoulli

separable reduced

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Bernoulli Integral

separable reduced Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.5276448886502582)

(-5.555555555555555, 0.3535534067857787)

(-3.333333333333333, 0.2041241462793246)

(-1.1111111111111107, 0.0668153105069397)

(1.1111111111111107, -0.06681545759782977)

(3.333333333333334, -0.2041246392325614)

(5.555555555555557, -0.353554371023951)

(7.777777777777779, -0.527646558554738)

(10.0, -0.7500030176371998)