Дифференциальное уравнение xy’+y=lnx+1

Вы ввели

  d                           
x*--(y(x)) + y(x) = 1 + log(x)
  dx                          

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} + 1$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
$$x$$
Получим уравнение:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
и
$$Q{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{x}$$
и называется линейным неоднородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Решим сначала надо соответствующее линейное однородное ур-ние

y' + P(x)y = 0

с разделяющимися переменными
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{1}{x}\, dx = \log{\left(x \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = \frac{C}{x}$$
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение

y' + P(x)y = Q(x)

Используем метод вариации произвольной постоянной
Теперь, считаем, что C - это функция от x

$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x}$$
И подставим в исходное уравнение.
Воспользовавшись правилами
- дифференцирования произведения;
- производной сложной функции,
находим, что
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Подставим Q(x) и P(x) в это уравнение.
Получим простейшее дифф. ур-ние для C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} + 1$$
Зн., C(x) =
$$\int \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\, dx = x \log{\left(x \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
подставим C(x) в
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x}$$
и получим окончательный ответ для y(x):
$$\frac{x \log{\left(x \right)} + Const}{x}$$

Ответ

       C1         
y(x) = -- + log(x)
       x          

$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x} + \log{\left(x \right)}$$

Классификация

1st exact

1st linear

Bernoulli

almost linear

lie group

nth linear euler eq nonhomogeneous undetermined coefficients

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

nth linear euler eq nonhomogeneous variation of parameters Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, nan)

(-5.555555555555555, nan)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, nan)

(1.1111111111111107, nan)

(3.333333333333334, nan)

(5.555555555555557, nan)

(7.777777777777779, nan)

(10.0, nan)