Дифференциальное уравнение xy′′+y′=0

Вы ввели

    2                     
   d          d           
x*---(y(x)) + --(y(x)) = 0
    2         dx          
  dx                      

$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y'.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y',
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y'
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y'.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x}$$
возьмём эти интегралы
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1}}{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \log{\left(x \right)} + C_{2}$$

Ответ

y(x) = C1 + C2*log(x)

$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} \log{\left(x \right)}$$

Классификация

nth linear euler eq homogeneous

Liouville

nth order reducible

2nd power series regular

Liouville Integral