Дифференциальное уравнение xy′′+y′=0
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Решение
Вы ввели
[src]
2
d d
x*---(y(x)) + --(y(x)) = 0
2 dx
dx
Подробное решение
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифф. уравнение имеет вид:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Разделим обе части ур-ния на g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y'.
Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
или
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y',
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y'.
(Const - это константа)
Решением будет:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = \frac{C_{1}}{x}$$
возьмём эти интегралы
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \frac{C_{1}}{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \log{\left(x \right)} + C_{2}$$
Классификация