Дифференциальное уравнение xy’=y/lnx

Вы ввели

  d           y(x) 
x*--(y(x)) = ------
  dx         log(x)

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
$$x$$
Получим уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = 0,

где
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$
и
и называется линейным однородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Это ур-ние с разделяющимися переменными.
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = e^{C_{1}} \log{\left(x \right)}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2}} \log{\left(x \right)}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C \log{\left(x \right)}$$

Ответ

y(x) = C1*log(x)

$$y{\left(x \right)} = C_{1} \log{\left(x \right)}$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

1st linear

Bernoulli

almost linear

lie group

separable Integral

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, nan)

(-5.555555555555555, nan)

(-3.333333333333333, nan)

(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)

(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 2.2129837020348934e-52)

(7.777777777777779, 8.388243567354845e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)