Дифференциальное уравнение xy′=ylny/x

Вы ввели

  d          log(y(x))*y(x)
x*--(y(x)) = --------------
  dx               x       

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$- y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
или
$$- \frac{dy}{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \log{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(\log{\left(y \right)} \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:

y_1 =

$$y{\left(x \right)} = e^{C_{1} e^{- \frac{1}{x}}}$$

Ответ

            -1 
            ---
             x 
        C1*e   
y(x) = e       

$$y{\left(x \right)} = e^{C_{1} e^{- \frac{1}{x}}}$$

Классификация

factorable

separable

lie group

separable Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.7437724242273609)

(-5.555555555555555, 0.7322432278540769)

(-3.333333333333333, 0.703718873579311)

(-1.1111111111111107, 0.5271602232815178)

(1.1111111111111107, nan)

(3.333333333333334, 6.9074934940135e-310)

(5.555555555555557, 1.0455593969878644e+183)

(7.777777777777779, 6.90749349555814e-310)

(10.0, 6.90749349401824e-310)