Дифференциальное уравнение xyy’=1-x^2

Вы ввели

  d                    2
x*--(y(x))*y(x) = 1 - x 
  dx                    

$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1 - x^{2}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\frac{1}{y{\left(x \right)}}$$
получим
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - x + \frac{1}{x}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$
или
$$dy y{\left(x \right)} = dx \left(- x + \frac{1}{x}\right)$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int y\, dy = \int \left(- x + \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{y^{2}}{2} = Const - \frac{x^{2}}{2} + \log{\left(x \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$

Ответ

           ____________________
          /       2            
y(x) = -\/  C1 - x  + 2*log(x) 

$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$

          ____________________
         /       2            
y(x) = \/  C1 - x  + 2*log(x) 

$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} - x^{2} + 2 \log{\left(x \right)}}$$

Классификация

separable

1st exact

lie group

separable Integral

1st exact Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 6.2901547121690315)

(-5.555555555555555, 8.277845941334105)

(-3.333333333333333, 9.340994054797356)

(-1.1111111111111107, 9.743380695632029)

(1.1111111111111107, 0.40927251619122734)

(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)

(5.555555555555557, 2.6209072136515877e+180)

(7.777777777777779, 8.388243567735891e+296)

(10.0, 3.861029683e-315)