Дифференциальное уравнение ху'=у

Вы ввели

  d              
x*--(y(x)) = y(x)
  dx             

$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Разделим обе части ур-ния на множитель при производной y':
$$x$$
Получим уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)}}{x}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

y' + P(x)y = 0,

где
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
и
и называется линейным неоднородным
дифф. уравнением 1го порядка:
Это ур-ние с разделяющимися переменными.
Данное ур-ние решается следущими шагами:

Из y' + P(x)y = 0 получаем

$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \log{\left(x \right)} + Const$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного ур-ния:
$$y_{1} = x e^{C_{1}}$$
$$y_{2} = - x e^{C_{2}}$$
что соотв. решению
с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C x$$

Ответ

y(x) = C1*x

$$y{\left(x \right)} = C_{1} x$$

Классификация

factorable

separable

1st exact

1st linear

Bernoulli

almost linear

lie group

nth linear euler eq homogeneous

separable Integral

1st exact Integral

1st linear Integral

Bernoulli Integral

almost linear Integral

Численный ответ

(x, y):

(-10.0, 0.75)

(-7.777777777777778, 0.5833333333333335)

(-5.555555555555555, 0.41666666666666685)

(-3.333333333333333, 0.25000000000000017)

(-1.1111111111111107, 0.08333333333333351)

(1.1111111111111107, -0.08333333333333307)

(3.333333333333334, -0.24999999999999956)

(5.555555555555557, -0.4166666666666664)

(7.777777777777779, -0.5833333333333329)

(10.0, -0.7499999999999994)