Разложить многочлен на множители p^2+p+1

Комбинаторика

         2
1 + p + p 

$$p^{2} + p + 1$$

Объединение рациональных выражений

1 + p*(1 + p)

$$p \left(p + 1\right) + 1$$

Разложение на множители

/            ___\ /            ___\
|    1   I*\/ 3 | |    1   I*\/ 3 |
|p + - + -------|*|p + - - -------|
\    2      2   / \    2      2   /

$$\left(p + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(p + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(p^{2} + p\right) + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a p^{2} + b p + c = a \left(m + p\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
Тогда
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = \frac{3}{4}$$
Итак,
$$\left(p + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$