Разложить многочлен на множители t^2+t+2

Комбинаторика

         2
2 + t + t 

$$t^{2} + t + 2$$

Объединение рациональных выражений

2 + t*(1 + t)

$$t \left(t + 1\right) + 2$$

Разложение на множители

/            ___\ /            ___\
|    1   I*\/ 7 | |    1   I*\/ 7 |
|t + - + -------|*|t + - - -------|
\    2      2   / \    2      2   /

$$\left(t + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)\right) \left(t + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right)\right)$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(t^{2} + t\right) + 2$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a t^{2} + b t + c = a \left(m + t\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 2$$
Тогда
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = \frac{7}{4}$$
Итак,
$$\left(t + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{7}{4}$$