Разложить многочлен на множители x^2-x-5

Комбинаторика

      2    
-5 + x  - x

$$x^{2} - x - 5$$

Объединение рациональных выражений

-5 + x*(-1 + x)

$$x \left(x - 1\right) - 5$$

Разложение на множители

/            ____\ /            ____\
|      1   \/ 21 | |      1   \/ 21 |
|x + - - + ------|*|x + - - - ------|
\      2     2   / \      2     2   /

$$\left(x + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right)\right) \left(x + \left(- \frac{\sqrt{21}}{2} - \frac{1}{2}\right)\right)$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(x^{2} - x\right) - 5$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a x^{2} + b x + c = a \left(m + x\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -5$$
Тогда
$$m = - \frac{1}{2}$$
$$n = - \frac{21}{4}$$
Итак,
$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{21}{4}$$