Разложить многочлен на множители x^2+x+8

Объединение рациональных выражений

8 + x*(1 + x)

$$x \left(x + 1\right) + 8$$

Разложение на множители

/            ____\ /            ____\
|    1   I*\/ 31 | |    1   I*\/ 31 |
|x + - + --------|*|x + - - --------|
\    2      2    / \    2      2    /

$$\left(x + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{31} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{31} i}{2}\right)\right)$$

Комбинаторика

         2
8 + x + x 

$$x^{2} + x + 8$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(x^{2} + x\right) + 8$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a x^{2} + b x + c = a \left(m + x\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 8$$
Тогда
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = \frac{31}{4}$$
Итак,
$$\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{31}{4}$$