Разложить многочлен на множители z^2+z+1

Комбинаторика

         2
1 + z + z 

$$z^{2} + z + 1$$

Объединение рациональных выражений

1 + z*(1 + z)

$$z \left(z + 1\right) + 1$$

Разложение на множители

/            ___\ /            ___\
|    1   I*\/ 3 | |    1   I*\/ 3 |
|x + - + -------|*|x + - - -------|
\    2      2   / \    2      2   /

$$\left(x + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) \left(x + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)$$

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$\left(z^{2} + z\right) + 1$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a z^{2} + b z + c = a \left(m + z\right)^{2} + n$$
где
$$m = \frac{b}{2 a}$$
$$n = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$$
В нашем случае
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
Тогда
$$m = \frac{1}{2}$$
$$n = \frac{3}{4}$$
Итак,
$$\left(z + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$