График функции y = (Abs(sqrt(x)-1))

Вы ввели

       |  ___    |
f(x) = |\/ x  - 1|

$$f{\left(x \right)} = \left|{\sqrt{x} - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\sqrt{x} - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(sqrt(x) - 1*1).
$$\left|{\left(-1\right) 1 + \sqrt{0}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{\left|{\sqrt{x} - 1}\right|} \left(\frac{\operatorname{sign}{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\left|{x}\right|}} \left(\cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (0,x \right )} \right )} \sqrt{\left|{x}\right|} - 1\right) \cos{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (0,x \right )} \right )} + \frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{1}{2} \operatorname{atan_{2}}{\left (0,x \right )} \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(1, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[1, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 1]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} + \frac{\left(\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} - 1\right) \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)}}{\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}}}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\sqrt{x} - 1 \right)} + \left(4 \sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} \delta\left(x\right) + \frac{4 \left(\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} - 1\right) \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} \delta\left(x\right)}{\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}}} - \frac{\left(\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1\right) \cos^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\left(\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} - 1\right) \left(\frac{2 x \delta\left(x\right)}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 1\right) \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}}}\right) \operatorname{sign}{\left(\sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{\left(\sin^{2}{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} + \frac{\left(\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)} - 1\right) \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}_{2}{\left(0,x \right)}}{2} \right)}}{\sqrt{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}}}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 1\right)}}{4 \left(\sqrt{x} - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\sqrt{x} - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\sqrt{x} - 1}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(sqrt(x) - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sqrt{x} - 1}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sqrt{x} - 1}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\sqrt{x} - 1}\right| = \left|{\sqrt{- x} - 1}\right|$$
- Нет
$$\left|{\sqrt{x} - 1}\right| = - \left|{\sqrt{- x} - 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График