График функции y = (Abs(log(x-4)))

Вы ввели

f(x) = |log(x - 4)|

$$f{\left (x \right )} = \left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(log(x - 4)).
$$\left|{\log{\left (-4 \right )}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \sqrt{\log^{2}{\left (4 \right )} + \pi^{2}}$$
Точка:

(0, sqrt(pi^2 + log(4)^2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{\log{\left (\left|{x - 4}\right| \right )} \operatorname{sign}{\left (x - 4 \right )}}{\left|{x - 4}\right| \left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(5, 2.36364252615315e-125)

         _____________________________ 
        /                           2  
(3, \/  5.58680599143964e-250 + pi  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5$$
$$x_{2} = 3$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[5, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(log(x - 4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right|\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right|\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right| = \left|{\log{\left (- x - 4 \right )}}\right|$$
- Нет
$$\left|{\log{\left (x - 4 \right )}}\right| = - \left|{\log{\left (- x - 4 \right )}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной