График функции y = (Abs((|x-2|)-1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = ||x - 2| - 1|
f(x)=x21f{\left (x \right )} = \left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right|
График функции
801234567-4-3-2-1010
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x21=0\left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(|x - 2| - 1).
1+2\left|{-1 + \left|{-2}\right|}\right|
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sign(x2)sign(x21)=0\operatorname{sign}{\left (x - 2 \right )} \operatorname{sign}{\left (\left|{x - 2}\right| - 1 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2x_{1} = 2
Зн. экстремумы в точках:
(2, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=2x_{1} = 2
Убывает на промежутках
(-oo, 2]

Возрастает на промежутках
[2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxx21=\lim_{x \to -\infty} \left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right| = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limxx21=\lim_{x \to \infty} \left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right| = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(|x - 2| - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xx21)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right|\right) = -1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = - x
limx(1xx21)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right|\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x21=x+21\left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right| = \left|{\left|{x + 2}\right| - 1}\right|
- Нет
x21=x+21\left|{\left|{x - 2}\right| - 1}\right| = - \left|{\left|{x + 2}\right| - 1}\right|
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной