График функции y = (Abs((|x|)-1))-x

Вы ввели

f(x) = ||x| - 1| - x

$$f{\left(x \right)} = - x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(|x| - 1*1) - x.
$$\left(-1\right) 0 + \left|{\left(-1\right) 1 + \left|{0}\right|}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\left|{x}\right| - 1 \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 64$$
$$x_{2} = 38$$
$$x_{3} = 60$$
$$x_{4} = 90$$
$$x_{5} = 78$$
$$x_{6} = 88$$
$$x_{7} = 72$$
$$x_{8} = 18$$
$$x_{9} = 94$$
$$x_{10} = 54$$
$$x_{11} = 92$$
$$x_{12} = 96$$
$$x_{13} = 24$$
$$x_{14} = 12$$
$$x_{15} = 70$$
$$x_{16} = 36$$
$$x_{17} = 46$$
$$x_{18} = 82$$
$$x_{19} = 2$$
$$x_{20} = 42$$
$$x_{21} = 66$$
$$x_{22} = 62$$
$$x_{23} = 4$$
$$x_{24} = 22$$
$$x_{25} = 10$$
$$x_{26} = 52$$
$$x_{27} = 74$$
$$x_{28} = 68$$
$$x_{29} = 40$$
$$x_{30} = 76$$
$$x_{31} = 80$$
$$x_{32} = 98$$
$$x_{33} = 86$$
$$x_{34} = 28$$
$$x_{35} = 6$$
$$x_{36} = 44$$
$$x_{37} = 56$$
$$x_{38} = 16$$
$$x_{39} = 30$$
$$x_{40} = 14$$
$$x_{41} = 26$$
$$x_{42} = 58$$
$$x_{43} = 20$$
$$x_{44} = 8$$
$$x_{45} = 48$$
$$x_{46} = 100$$
$$x_{47} = 84$$
$$x_{48} = 50$$
$$x_{49} = 32$$
$$x_{50} = -0.25$$
$$x_{51} = 34$$
Зн. экстремумы в точках:

(64, -1)

(38, -1)

(60, -1)

(90, -1)

(78, -1)

(88, -1)

(72, -1)

(18, -1)

(94, -1)

(54, -1)

(92, -1)

(96, -1)

(24, -1)

(12, -1)

(70, -1)

(36, -1)

(46, -1)

(82, -1)

(2, -1)

(42, -1)

(66, -1)

(62, -1)

(4, -1)

(22, -1)

(10, -1)

(52, -1)

(74, -1)

(68, -1)

(40, -1)

(76, -1)

(80, -1)

(98, -1)

(86, -1)

(28, -1)

(6, -1)

(44, -1)

(56, -1)

(16, -1)

(30, -1)

(14, -1)

(26, -1)

(58, -1)

(20, -1)

(8, -1)

(48, -1)

(100, -1)

(84, -1)

(50, -1)

(32, -1)

(-0.25, 1)

(34, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \left(\delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x}\right| - 1 \right)} + \delta\left(\left|{x}\right| - 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(|x| - 1*1) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}{x}\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right| = x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|$$
- Нет
$$- x + \left|{\left|{x}\right| - 1}\right| = - x - \left|{\left|{x}\right| - 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График