Графики функций/ Построение в 2D/ y = Abs(1-|x|)-|x|+1

График функции y = Abs(1-|x|)-|x|+1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |1 - |x|| - |x| + 1
f(x)=−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1f{\left (x \right )} = - \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1
График функции
0-2000-1500-1000-50050010001500200001
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1=0- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=34x_{1} = 34
x2=92x_{2} = 92
x3=−100x_{3} = -100
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=4x_{6} = 4
x7=70x_{7} = 70
x8=−82x_{8} = -82
x9=90x_{9} = 90
x10=−14x_{10} = -14
x11=−78x_{11} = -78
x12=−90x_{12} = -90
x13=−46x_{13} = -46
x14=−48x_{14} = -48
x15=1x_{15} = 1
x16=46x_{16} = 46
x17=66x_{17} = 66
x18=22x_{18} = 22
x19=72x_{19} = 72
x20=−66x_{20} = -66
x21=−4x_{21} = -4
x22=82x_{22} = 82
x23=98x_{23} = 98
x24=74x_{24} = 74
x25=36x_{25} = 36
x26=−70x_{26} = -70
x27=−54x_{27} = -54
x28=−74x_{28} = -74
x29=−30x_{29} = -30
x30=−32x_{30} = -32
x31=−12x_{31} = -12
x32=52x_{32} = 52
x33=32x_{33} = 32
x34=−60x_{34} = -60
x35=−20x_{35} = -20
x36=40x_{36} = 40
x37=68x_{37} = 68
x38=−86x_{38} = -86
x39=−34x_{39} = -34
x40=24x_{40} = 24
x41=−10x_{41} = -10
x42=18x_{42} = 18
x43=−44x_{43} = -44
x44=62x_{44} = 62
x45=−76x_{45} = -76
x46=50x_{46} = 50
x47=−2x_{47} = -2
x48=88x_{48} = 88
x49=10x_{49} = 10
x50=−94x_{50} = -94
x51=−56x_{51} = -56
x52=−52x_{52} = -52
x53=−80x_{53} = -80
x54=−36x_{54} = -36
x55=78x_{55} = 78
x56=54x_{56} = 54
x57=60x_{57} = 60
x58=−64x_{58} = -64
x59=−40x_{59} = -40
x60=−68x_{60} = -68
x61=26x_{61} = 26
x62=28x_{62} = 28
x63=−38x_{63} = -38
x64=−42x_{64} = -42
x65=−22x_{65} = -22
x66=−84x_{66} = -84
x67=−50x_{67} = -50
x68=38x_{68} = 38
x69=64x_{69} = 64
x70=30x_{70} = 30
x71=14x_{71} = 14
x72=86x_{72} = 86
x73=−6x_{73} = -6
x74=−98x_{74} = -98
x75=−28x_{75} = -28
x76=6x_{76} = 6
x77=−18x_{77} = -18
x78=94x_{78} = 94
x79=48x_{79} = 48
x80=16x_{80} = 16
x81=20x_{81} = 20
x82=2x_{82} = 2
x83=96x_{83} = 96
x84=−26x_{84} = -26
x85=−92x_{85} = -92
x86=−96x_{86} = -96
x87=−8x_{87} = -8
x88=58x_{88} = 58
x89=76x_{89} = 76
x90=−88x_{90} = -88
x91=8x_{91} = 8
x92=−16x_{92} = -16
x93=100x_{93} = 100
x94=−24x_{94} = -24
x95=42x_{95} = 42
x96=84x_{96} = 84
x97=−62x_{97} = -62
x98=56x_{98} = 56
x99=−58x_{99} = -58
x100=−72x_{100} = -72
x101=44x_{101} = 44
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(1 - |x|) - |x| + 1.
−∣0∣+∣−∣0∣+1∣+1- \left|{0}\right| + \left|{- \left|{0}\right| + 1}\right| + 1
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−sign⁡(x)sign⁡(−∣x∣+1)−sign⁡(x)=0- \operatorname{sign}{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (- \left|{x}\right| + 1 \right )} - \operatorname{sign}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=34x_{1} = 34
x2=92x_{2} = 92
x3=−100x_{3} = -100
x4=12x_{4} = 12
x5=80x_{5} = 80
x6=4x_{6} = 4
x7=70x_{7} = 70
x8=−82x_{8} = -82
x9=90x_{9} = 90
x10=−14x_{10} = -14
x11=−78x_{11} = -78
x12=−90x_{12} = -90
x13=−46x_{13} = -46
x14=−48x_{14} = -48
x15=46x_{15} = 46
x16=66x_{16} = 66
x17=22x_{17} = 22
x18=72x_{18} = 72
x19=−66x_{19} = -66
x20=−4x_{20} = -4
x21=82x_{21} = 82
x22=98x_{22} = 98
x23=74x_{23} = 74
x24=36x_{24} = 36
x25=−70x_{25} = -70
x26=−54x_{26} = -54
x27=−74x_{27} = -74
x28=−30x_{28} = -30
x29=−32x_{29} = -32
x30=−12x_{30} = -12
x31=52x_{31} = 52
x32=32x_{32} = 32
x33=−60x_{33} = -60
x34=−20x_{34} = -20
x35=40x_{35} = 40
x36=68x_{36} = 68
x37=−86x_{37} = -86
x38=−34x_{38} = -34
x39=24x_{39} = 24
x40=−10x_{40} = -10
x41=18x_{41} = 18
x42=−44x_{42} = -44
x43=62x_{43} = 62
x44=−76x_{44} = -76
x45=50x_{45} = 50
x46=−2x_{46} = -2
x47=88x_{47} = 88
x48=10x_{48} = 10
x49=−94x_{49} = -94
x50=−56x_{50} = -56
x51=−52x_{51} = -52
x52=0x_{52} = 0
x53=−80x_{53} = -80
x54=−36x_{54} = -36
x55=78x_{55} = 78
x56=54x_{56} = 54
x57=60x_{57} = 60
x58=−64x_{58} = -64
x59=−40x_{59} = -40
x60=−68x_{60} = -68
x61=26x_{61} = 26
x62=28x_{62} = 28
x63=−38x_{63} = -38
x64=−42x_{64} = -42
x65=−22x_{65} = -22
x66=−84x_{66} = -84
x67=−50x_{67} = -50
x68=38x_{68} = 38
x69=64x_{69} = 64
x70=30x_{70} = 30
x71=14x_{71} = 14
x72=86x_{72} = 86
x73=−6x_{73} = -6
x74=−98x_{74} = -98
x75=−28x_{75} = -28
x76=6x_{76} = 6
x77=−18x_{77} = -18
x78=94x_{78} = 94
x79=48x_{79} = 48
x80=16x_{80} = 16
x81=20x_{81} = 20
x82=2x_{82} = 2
x83=96x_{83} = 96
x84=−26x_{84} = -26
x85=−92x_{85} = -92
x86=−96x_{86} = -96
x87=−8x_{87} = -8
x88=58x_{88} = 58
x89=76x_{89} = 76
x90=−88x_{90} = -88
x91=8x_{91} = 8
x92=−16x_{92} = -16
x93=100x_{93} = 100
x94=−24x_{94} = -24
x95=42x_{95} = 42
x96=84x_{96} = 84
x97=−62x_{97} = -62
x98=56x_{98} = 56
x99=−58x_{99} = -58
x100=−72x_{100} = -72
x101=44x_{101} = 44
Зн. экстремумы в точках:
(34, 0)

(92, 0)

(-100, 0)

(12, 0)

(80, 0)

(4, 0)

(70, 0)

(-82, 0)

(90, 0)

(-14, 0)

(-78, 0)

(-90, 0)

(-46, 0)

(-48, 0)

(46, 0)

(66, 0)

(22, 0)

(72, 0)

(-66, 0)

(-4, 0)

(82, 0)

(98, 0)

(74, 0)

(36, 0)

(-70, 0)

(-54, 0)

(-74, 0)

(-30, 0)

(-32, 0)

(-12, 0)

(52, 0)

(32, 0)

(-60, 0)

(-20, 0)

(40, 0)

(68, 0)

(-86, 0)

(-34, 0)

(24, 0)

(-10, 0)

(18, 0)

(-44, 0)

(62, 0)

(-76, 0)

(50, 0)

(-2, 0)

(88, 0)

(10, 0)

(-94, 0)

(-56, 0)

(-52, 0)

(0, 2)

(-80, 0)

(-36, 0)

(78, 0)

(54, 0)

(60, 0)

(-64, 0)

(-40, 0)

(-68, 0)

(26, 0)

(28, 0)

(-38, 0)

(-42, 0)

(-22, 0)

(-84, 0)

(-50, 0)

(38, 0)

(64, 0)

(30, 0)

(14, 0)

(86, 0)

(-6, 0)

(-98, 0)

(-28, 0)

(6, 0)

(-18, 0)

(94, 0)

(48, 0)

(16, 0)

(20, 0)

(2, 0)

(96, 0)

(-26, 0)

(-92, 0)

(-96, 0)

(-8, 0)

(58, 0)

(76, 0)

(-88, 0)

(8, 0)

(-16, 0)

(100, 0)

(-24, 0)

(42, 0)

(84, 0)

(-62, 0)

(56, 0)

(-58, 0)

(-72, 0)

(44, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x101=0x_{101} = 0
Убывает на промежутках
(-oo, 0]

Возрастает на промежутках
[0, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(1 - |x|) - |x| + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1=−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1 = - \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1
- Да
−∣x∣+∣−∣x∣+1∣+1=−−1∣x∣−∣−∣x∣+1∣−1- \left|{x}\right| + \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| + 1 = - -1 \left|{x}\right| - \left|{- \left|{x}\right| + 1}\right| - 1
- Нет
значит, функция
является
чётной