График функции y = (Abs(sin(2*x)-1))

Вы ввели

f(x) = |sin(2*x) - 1|

$$f{\left (x \right )} = \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -49.4800844377$$
$$x_{2} = 51.0508807797$$
$$x_{3} = 7.06858364655$$
$$x_{4} = 69.9004366228$$
$$x_{5} = 66.7588436647$$
$$x_{6} = 32.2013247418$$
$$x_{7} = -74.6128250891$$
$$x_{8} = -36.9137134892$$
$$x_{9} = -21.2057506438$$
$$x_{10} = 47.9092880422$$
$$x_{11} = -2.35619429412$$
$$x_{12} = 82.4668070363$$
$$x_{13} = -77.754418173$$
$$x_{14} = -40.0553062823$$
$$x_{15} = 54.1924733268$$
$$x_{16} = 10.2101761577$$
$$x_{17} = -153.152642171$$
$$x_{18} = -84.0376034464$$
$$x_{19} = -27.4889358588$$
$$x_{20} = -58.9048620579$$
$$x_{21} = 35.3429175339$$
$$x_{22} = -52.6216765719$$
$$x_{23} = 29.0597318077$$
$$x_{24} = -24.3473430702$$
$$x_{25} = -62.046454551$$
$$x_{26} = -74.612825269$$
$$x_{27} = 76.183621913$$
$$x_{28} = 95.0331775275$$
$$x_{29} = 95.0331779097$$
$$x_{30} = -8.63937954158$$
$$x_{31} = -99.7455667547$$
$$x_{32} = 73.0420293451$$
$$x_{33} = -80.8960106271$$
$$x_{34} = -43.1968987801$$
$$x_{35} = 3.92699088042$$
$$x_{36} = -71.4712330165$$
$$x_{37} = 73.042028954$$
$$x_{38} = -65.1880477976$$
$$x_{39} = -11.7809724257$$
$$x_{40} = 57.3340660701$$
$$x_{41} = 38.4845098781$$
$$x_{42} = 88.749992242$$
$$x_{43} = 85.6084000179$$
$$x_{44} = 22.7765465103$$
$$x_{45} = -87.1791967606$$
$$x_{46} = -52.6216766931$$
$$x_{47} = 79.3252146099$$
$$x_{48} = -33.7721210086$$
$$x_{49} = -65.1880480739$$
$$x_{50} = 29.0597322135$$
$$x_{51} = 13.3517690014$$
$$x_{52} = -58.9048624819$$
$$x_{53} = -30.6305280515$$
$$x_{54} = -62.0464548642$$
$$x_{55} = -46.3384914505$$
$$x_{56} = -93.4623815953$$
$$x_{57} = 44.7676950874$$
$$x_{58} = 51.0508803808$$
$$x_{59} = -96.603973845$$
$$x_{60} = 7.06858323492$$
$$x_{61} = -90.3207886071$$
$$x_{62} = -36.9137139099$$
$$x_{63} = 101.316363153$$
$$x_{64} = -80.8960110535$$
$$x_{65} = -68.3296400288$$
$$x_{66} = -5.49778727992$$
$$x_{67} = -87.1791963743$$
$$x_{68} = 25.9181398405$$
$$x_{69} = 16.4933612991$$
$$x_{70} = -2.35619439287$$
$$x_{71} = -18.0641577008$$
$$x_{72} = -30.6305281173$$
$$x_{73} = -14.922564921$$
$$x_{74} = -43.1968992207$$
$$x_{75} = -8.63937952709$$
$$x_{76} = 13.351769034$$
$$x_{77} = 60.4756584572$$
$$x_{78} = 63.61725144$$
$$x_{79} = 0.785397933203$$
$$x_{80} = 98.1747705006$$
$$x_{81} = -14.9225653376$$
$$x_{82} = 91.8915852032$$
$$x_{83} = -46.3384918202$$
$$x_{84} = 19.634954284$$
$$x_{85} = 57.3340661848$$
$$x_{86} = -55.763269591$$
$$x_{87} = 41.626102862$$
$$x_{88} = 35.3429176095$$
$$x_{89} = -24.3473428723$$
$$x_{90} = -96.6039736044$$
$$x_{91} = 79.3252147601$$
$$x_{92} = 25.9181394614$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(sin(2*x) - 1).
$$\left|{-1 + \sin{\left (0 \cdot 2 \right )}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \cos{\left (2 x \right )} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (2 x \right )} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -77.7544181763$$
$$x_{2} = 90.3207887907$$
$$x_{3} = 22.7765467385$$
$$x_{4} = -93.4623814443$$
$$x_{5} = 77.7544181763$$
$$x_{6} = -13.3517687778$$
$$x_{7} = -71.4712328692$$
$$x_{8} = 33.7721210261$$
$$x_{9} = -47.9092879672$$
$$x_{10} = 66.7588438888$$
$$x_{11} = 162.577419823$$
$$x_{12} = 69.9004365424$$
$$x_{13} = -25.9181393921$$
$$x_{14} = 63.6172512352$$
$$x_{15} = 30.6305283725$$
$$x_{16} = -49.480084294$$
$$x_{17} = 84.0376034835$$
$$x_{18} = 54.1924732744$$
$$x_{19} = 2.35619449019$$
$$x_{20} = -33.7721210261$$
$$x_{21} = 10.2101761242$$
$$x_{22} = 87.1791961371$$
$$x_{23} = 76.1836218496$$
$$x_{24} = 49.480084294$$
$$x_{25} = -2.35619449019$$
$$x_{26} = -5.49778714378$$
$$x_{27} = -55.7632696012$$
$$x_{28} = 60.4756585816$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = -38.4845100065$$
$$x_{31} = -46.3384916404$$
$$x_{32} = 40.0553063333$$
$$x_{33} = 41.6261026601$$
$$x_{34} = -32.2013246993$$
$$x_{35} = -79.3252145031$$
$$x_{36} = -18.0641577581$$
$$x_{37} = -62.0464549084$$
$$x_{38} = 44.7676953137$$
$$x_{39} = 46.3384916404$$
$$x_{40} = -11.780972451$$
$$x_{41} = 27.4889357189$$
$$x_{42} = 1973.70558462$$
$$x_{43} = 85.6083998103$$
$$x_{44} = 32.2013246993$$
$$x_{45} = 74.6128255228$$
$$x_{46} = -63.6172512352$$
$$x_{47} = -76.1836218496$$
$$x_{48} = 18.0641577581$$
$$x_{49} = -99.7455667515$$
$$x_{50} = -60.4756585816$$
$$x_{51} = -90.3207887907$$
$$x_{52} = -16.4933614313$$
$$x_{53} = -69.9004365424$$
$$x_{54} = 88.7499924639$$
$$x_{55} = 3.92699081699$$
$$x_{56} = 11.780972451$$
$$x_{57} = 98.1747704247$$
$$x_{58} = -19.6349540849$$
$$x_{59} = 38.4845100065$$
$$x_{60} = 24.3473430653$$
$$x_{61} = 62.0464549084$$
$$x_{62} = -84.0376034835$$
$$x_{63} = -35.3429173529$$
$$x_{64} = -41.6261026601$$
$$x_{65} = -91.8915851175$$
$$x_{66} = 82.4668071567$$
$$x_{67} = 96.6039740979$$
$$x_{68} = 25.9181393921$$
$$x_{69} = -27.4889357189$$
$$x_{70} = 384.059701901$$
$$x_{71} = -82.4668071567$$
$$x_{72} = -10.2101761242$$
$$x_{73} = -40.0553063333$$
$$x_{74} = -85.6083998103$$
$$x_{75} = -57.334065928$$
$$x_{76} = -98.1747704247$$
$$x_{77} = 47.9092879672$$
$$x_{78} = 16.4933614313$$
$$x_{79} = -12461.9126586$$
$$x_{80} = -3.92699081699$$
$$x_{81} = 68.3296402156$$
$$x_{82} = 19.6349540849$$
$$x_{83} = 5.49778714378$$
$$x_{84} = 99.7455667515$$
$$x_{85} = 52.6216769476$$
$$x_{86} = -24.3473430653$$
$$x_{87} = -68.3296402156$$
$$x_{88} = 55.7632696012$$
$$x_{89} = 91.8915851175$$
$$x_{90} = 8.63937979737$$
Зн. экстремумы в точках:

(-77.7544181763, 0)

(90.3207887907, 2)

(22.7765467385, 0)

(-93.4623814443, 0)

(77.7544181763, 2)

(-13.3517687778, 2)

(-71.4712328692, 0)

(33.7721210261, 2)

(-47.9092879672, 2)

(66.7588438888, 0)

(162.577419823, 2)

(69.9004365424, 0)

(-25.9181393921, 2)

(63.6172512352, 0)

(30.6305283725, 2)

(-49.480084294, 0)

(84.0376034835, 2)

(54.1924732744, 0)

(2.35619449019, 2)

(-33.7721210261, 0)

(10.2101761242, 0)

(87.1791961371, 2)

(76.1836218496, 0)

(49.480084294, 2)

(-2.35619449019, 0)

(-5.49778714378, 0)

(-55.7632696012, 0)

(60.4756585816, 0)

(-54.1924732744, 2)

(-38.4845100065, 2)

(-46.3384916404, 0)

(40.0553063333, 2)

(41.6261026601, 0)

(-32.2013246993, 2)

(-79.3252145031, 2)

(-18.0641577581, 0)

(-62.0464549084, 0)

(44.7676953137, 0)

(46.3384916404, 2)

(-11.780972451, 0)

(27.4889357189, 2)

(1973.70558462, 0)

(85.6083998103, 0)

(32.2013246993, 0)

(74.6128255228, 2)

(-63.6172512352, 2)

(-76.1836218496, 2)

(18.0641577581, 2)

(-99.7455667515, 0)

(-60.4756585816, 2)

(-90.3207887907, 0)

(-16.4933614313, 2)

(-69.9004365424, 2)

(88.7499924639, 0)

(3.92699081699, 0)

(11.780972451, 2)

(98.1747704247, 0)

(-19.6349540849, 2)

(38.4845100065, 0)

(24.3473430653, 2)

(62.0464549084, 2)

(-84.0376034835, 0)

(-35.3429173529, 2)

(-41.6261026601, 2)

(-91.8915851175, 2)

(82.4668071567, 0)

(96.6039740979, 2)

(25.9181393921, 0)

(-27.4889357189, 0)

(384.059701901, 0)

(-82.4668071567, 2)

(-10.2101761242, 2)

(-40.0553063333, 0)

(-85.6083998103, 2)

(-57.334065928, 2)

(-98.1747704247, 2)

(47.9092879672, 0)

(16.4933614313, 0)

(-12461.9126586, 1.4432899320127e-15)

(-3.92699081699, 2)

(68.3296402156, 2)

(19.6349540849, 0)

(5.49778714378, 2)

(99.7455667515, 2)

(52.6216769476, 2)

(-24.3473430653, 0)

(-68.3296402156, 0)

(55.7632696012, 2)

(91.8915851175, 0)

(8.63937979737, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{90} = -77.7544181763$$
$$x_{90} = 22.7765467385$$
$$x_{90} = -93.4623814443$$
$$x_{90} = -71.4712328692$$
$$x_{90} = 66.7588438888$$
$$x_{90} = 69.9004365424$$
$$x_{90} = 63.6172512352$$
$$x_{90} = -49.480084294$$
$$x_{90} = 54.1924732744$$
$$x_{90} = -33.7721210261$$
$$x_{90} = 10.2101761242$$
$$x_{90} = 76.1836218496$$
$$x_{90} = -2.35619449019$$
$$x_{90} = -5.49778714378$$
$$x_{90} = -55.7632696012$$
$$x_{90} = 60.4756585816$$
$$x_{90} = -46.3384916404$$
$$x_{90} = 41.6261026601$$
$$x_{90} = -18.0641577581$$
$$x_{90} = -62.0464549084$$
$$x_{90} = 44.7676953137$$
$$x_{90} = -11.780972451$$
$$x_{90} = 1973.70558462$$
$$x_{90} = 85.6083998103$$
$$x_{90} = 32.2013246993$$
$$x_{90} = -99.7455667515$$
$$x_{90} = -90.3207887907$$
$$x_{90} = 88.7499924639$$
$$x_{90} = 3.92699081699$$
$$x_{90} = 98.1747704247$$
$$x_{90} = 38.4845100065$$
$$x_{90} = -84.0376034835$$
$$x_{90} = 82.4668071567$$
$$x_{90} = 25.9181393921$$
$$x_{90} = -27.4889357189$$
$$x_{90} = 384.059701901$$
$$x_{90} = -40.0553063333$$
$$x_{90} = 47.9092879672$$
$$x_{90} = 16.4933614313$$
$$x_{90} = -12461.9126586$$
$$x_{90} = 19.6349540849$$
$$x_{90} = -24.3473430653$$
$$x_{90} = -68.3296402156$$
$$x_{90} = 91.8915851175$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{90} = 90.3207887907$$
$$x_{90} = 77.7544181763$$
$$x_{90} = -13.3517687778$$
$$x_{90} = 33.7721210261$$
$$x_{90} = -47.9092879672$$
$$x_{90} = 162.577419823$$
$$x_{90} = -25.9181393921$$
$$x_{90} = 30.6305283725$$
$$x_{90} = 84.0376034835$$
$$x_{90} = 2.35619449019$$
$$x_{90} = 87.1791961371$$
$$x_{90} = 49.480084294$$
$$x_{90} = -54.1924732744$$
$$x_{90} = -38.4845100065$$
$$x_{90} = 40.0553063333$$
$$x_{90} = -32.2013246993$$
$$x_{90} = -79.3252145031$$
$$x_{90} = 46.3384916404$$
$$x_{90} = 27.4889357189$$
$$x_{90} = 74.6128255228$$
$$x_{90} = -63.6172512352$$
$$x_{90} = -76.1836218496$$
$$x_{90} = 18.0641577581$$
$$x_{90} = -60.4756585816$$
$$x_{90} = -16.4933614313$$
$$x_{90} = -69.9004365424$$
$$x_{90} = 11.780972451$$
$$x_{90} = -19.6349540849$$
$$x_{90} = 24.3473430653$$
$$x_{90} = 62.0464549084$$
$$x_{90} = -35.3429173529$$
$$x_{90} = -41.6261026601$$
$$x_{90} = -91.8915851175$$
$$x_{90} = 96.6039740979$$
$$x_{90} = -82.4668071567$$
$$x_{90} = -10.2101761242$$
$$x_{90} = -85.6083998103$$
$$x_{90} = -57.334065928$$
$$x_{90} = -98.1747704247$$
$$x_{90} = -3.92699081699$$
$$x_{90} = 68.3296402156$$
$$x_{90} = 5.49778714378$$
$$x_{90} = 99.7455667515$$
$$x_{90} = 52.6216769476$$
$$x_{90} = 55.7632696012$$
$$x_{90} = 8.63937979737$$
Убывает на промежутках

[1973.70558462, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -12461.9126586]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(sin(2*x) - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = \left|{\sin{\left (2 x \right )} + 1}\right|$$
- Нет
$$\left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = - \left|{\sin{\left (2 x \right )} + 1}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной