Графики функций/ Построение в 2D/ y = (Abs(sin(2*x)-1))

График функции y = (Abs(sin(2*x)-1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |sin(2*x) - 1|
f(x)=∣sin⁡(2x)−1∣f{\left (x \right )} = \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right|
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
∣sin⁡(2x)−1∣=0\left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Численное решение
x1=−49.4800844377x_{1} = -49.4800844377
x2=51.0508807797x_{2} = 51.0508807797
x3=7.06858364655x_{3} = 7.06858364655
x4=69.9004366228x_{4} = 69.9004366228
x5=66.7588436647x_{5} = 66.7588436647
x6=32.2013247418x_{6} = 32.2013247418
x7=−74.6128250891x_{7} = -74.6128250891
x8=−36.9137134892x_{8} = -36.9137134892
x9=−21.2057506438x_{9} = -21.2057506438
x10=47.9092880422x_{10} = 47.9092880422
x11=−2.35619429412x_{11} = -2.35619429412
x12=82.4668070363x_{12} = 82.4668070363
x13=−77.754418173x_{13} = -77.754418173
x14=−40.0553062823x_{14} = -40.0553062823
x15=54.1924733268x_{15} = 54.1924733268
x16=10.2101761577x_{16} = 10.2101761577
x17=−153.152642171x_{17} = -153.152642171
x18=−84.0376034464x_{18} = -84.0376034464
x19=−27.4889358588x_{19} = -27.4889358588
x20=−58.9048620579x_{20} = -58.9048620579
x21=35.3429175339x_{21} = 35.3429175339
x22=−52.6216765719x_{22} = -52.6216765719
x23=29.0597318077x_{23} = 29.0597318077
x24=−24.3473430702x_{24} = -24.3473430702
x25=−62.046454551x_{25} = -62.046454551
x26=−74.612825269x_{26} = -74.612825269
x27=76.183621913x_{27} = 76.183621913
x28=95.0331775275x_{28} = 95.0331775275
x29=95.0331779097x_{29} = 95.0331779097
x30=−8.63937954158x_{30} = -8.63937954158
x31=−99.7455667547x_{31} = -99.7455667547
x32=73.0420293451x_{32} = 73.0420293451
x33=−80.8960106271x_{33} = -80.8960106271
x34=−43.1968987801x_{34} = -43.1968987801
x35=3.92699088042x_{35} = 3.92699088042
x36=−71.4712330165x_{36} = -71.4712330165
x37=73.042028954x_{37} = 73.042028954
x38=−65.1880477976x_{38} = -65.1880477976
x39=−11.7809724257x_{39} = -11.7809724257
x40=57.3340660701x_{40} = 57.3340660701
x41=38.4845098781x_{41} = 38.4845098781
x42=88.749992242x_{42} = 88.749992242
x43=85.6084000179x_{43} = 85.6084000179
x44=22.7765465103x_{44} = 22.7765465103
x45=−87.1791967606x_{45} = -87.1791967606
x46=−52.6216766931x_{46} = -52.6216766931
x47=79.3252146099x_{47} = 79.3252146099
x48=−33.7721210086x_{48} = -33.7721210086
x49=−65.1880480739x_{49} = -65.1880480739
x50=29.0597322135x_{50} = 29.0597322135
x51=13.3517690014x_{51} = 13.3517690014
x52=−58.9048624819x_{52} = -58.9048624819
x53=−30.6305280515x_{53} = -30.6305280515
x54=−62.0464548642x_{54} = -62.0464548642
x55=−46.3384914505x_{55} = -46.3384914505
x56=−93.4623815953x_{56} = -93.4623815953
x57=44.7676950874x_{57} = 44.7676950874
x58=51.0508803808x_{58} = 51.0508803808
x59=−96.603973845x_{59} = -96.603973845
x60=7.06858323492x_{60} = 7.06858323492
x61=−90.3207886071x_{61} = -90.3207886071
x62=−36.9137139099x_{62} = -36.9137139099
x63=101.316363153x_{63} = 101.316363153
x64=−80.8960110535x_{64} = -80.8960110535
x65=−68.3296400288x_{65} = -68.3296400288
x66=−5.49778727992x_{66} = -5.49778727992
x67=−87.1791963743x_{67} = -87.1791963743
x68=25.9181398405x_{68} = 25.9181398405
x69=16.4933612991x_{69} = 16.4933612991
x70=−2.35619439287x_{70} = -2.35619439287
x71=−18.0641577008x_{71} = -18.0641577008
x72=−30.6305281173x_{72} = -30.6305281173
x73=−14.922564921x_{73} = -14.922564921
x74=−43.1968992207x_{74} = -43.1968992207
x75=−8.63937952709x_{75} = -8.63937952709
x76=13.351769034x_{76} = 13.351769034
x77=60.4756584572x_{77} = 60.4756584572
x78=63.61725144x_{78} = 63.61725144
x79=0.785397933203x_{79} = 0.785397933203
x80=98.1747705006x_{80} = 98.1747705006
x81=−14.9225653376x_{81} = -14.9225653376
x82=91.8915852032x_{82} = 91.8915852032
x83=−46.3384918202x_{83} = -46.3384918202
x84=19.634954284x_{84} = 19.634954284
x85=57.3340661848x_{85} = 57.3340661848
x86=−55.763269591x_{86} = -55.763269591
x87=41.626102862x_{87} = 41.626102862
x88=35.3429176095x_{88} = 35.3429176095
x89=−24.3473428723x_{89} = -24.3473428723
x90=−96.6039736044x_{90} = -96.6039736044
x91=79.3252147601x_{91} = 79.3252147601
x92=25.9181394614x_{92} = 25.9181394614
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(sin(2*x) - 1).
∣−1+sin⁡(0⋅2)∣\left|{-1 + \sin{\left (0 \cdot 2 \right )}}\right|
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2cos⁡(2x)sign⁡(sin⁡(2x)−1)=02 \cos{\left (2 x \right )} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (2 x \right )} - 1 \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−77.7544181763x_{1} = -77.7544181763
x2=90.3207887907x_{2} = 90.3207887907
x3=22.7765467385x_{3} = 22.7765467385
x4=−93.4623814443x_{4} = -93.4623814443
x5=77.7544181763x_{5} = 77.7544181763
x6=−13.3517687778x_{6} = -13.3517687778
x7=−71.4712328692x_{7} = -71.4712328692
x8=33.7721210261x_{8} = 33.7721210261
x9=−47.9092879672x_{9} = -47.9092879672
x10=66.7588438888x_{10} = 66.7588438888
x11=162.577419823x_{11} = 162.577419823
x12=69.9004365424x_{12} = 69.9004365424
x13=−25.9181393921x_{13} = -25.9181393921
x14=63.6172512352x_{14} = 63.6172512352
x15=30.6305283725x_{15} = 30.6305283725
x16=−49.480084294x_{16} = -49.480084294
x17=84.0376034835x_{17} = 84.0376034835
x18=54.1924732744x_{18} = 54.1924732744
x19=2.35619449019x_{19} = 2.35619449019
x20=−33.7721210261x_{20} = -33.7721210261
x21=10.2101761242x_{21} = 10.2101761242
x22=87.1791961371x_{22} = 87.1791961371
x23=76.1836218496x_{23} = 76.1836218496
x24=49.480084294x_{24} = 49.480084294
x25=−2.35619449019x_{25} = -2.35619449019
x26=−5.49778714378x_{26} = -5.49778714378
x27=−55.7632696012x_{27} = -55.7632696012
x28=60.4756585816x_{28} = 60.4756585816
x29=−54.1924732744x_{29} = -54.1924732744
x30=−38.4845100065x_{30} = -38.4845100065
x31=−46.3384916404x_{31} = -46.3384916404
x32=40.0553063333x_{32} = 40.0553063333
x33=41.6261026601x_{33} = 41.6261026601
x34=−32.2013246993x_{34} = -32.2013246993
x35=−79.3252145031x_{35} = -79.3252145031
x36=−18.0641577581x_{36} = -18.0641577581
x37=−62.0464549084x_{37} = -62.0464549084
x38=44.7676953137x_{38} = 44.7676953137
x39=46.3384916404x_{39} = 46.3384916404
x40=−11.780972451x_{40} = -11.780972451
x41=27.4889357189x_{41} = 27.4889357189
x42=1973.70558462x_{42} = 1973.70558462
x43=85.6083998103x_{43} = 85.6083998103
x44=32.2013246993x_{44} = 32.2013246993
x45=74.6128255228x_{45} = 74.6128255228
x46=−63.6172512352x_{46} = -63.6172512352
x47=−76.1836218496x_{47} = -76.1836218496
x48=18.0641577581x_{48} = 18.0641577581
x49=−99.7455667515x_{49} = -99.7455667515
x50=−60.4756585816x_{50} = -60.4756585816
x51=−90.3207887907x_{51} = -90.3207887907
x52=−16.4933614313x_{52} = -16.4933614313
x53=−69.9004365424x_{53} = -69.9004365424
x54=88.7499924639x_{54} = 88.7499924639
x55=3.92699081699x_{55} = 3.92699081699
x56=11.780972451x_{56} = 11.780972451
x57=98.1747704247x_{57} = 98.1747704247
x58=−19.6349540849x_{58} = -19.6349540849
x59=38.4845100065x_{59} = 38.4845100065
x60=24.3473430653x_{60} = 24.3473430653
x61=62.0464549084x_{61} = 62.0464549084
x62=−84.0376034835x_{62} = -84.0376034835
x63=−35.3429173529x_{63} = -35.3429173529
x64=−41.6261026601x_{64} = -41.6261026601
x65=−91.8915851175x_{65} = -91.8915851175
x66=82.4668071567x_{66} = 82.4668071567
x67=96.6039740979x_{67} = 96.6039740979
x68=25.9181393921x_{68} = 25.9181393921
x69=−27.4889357189x_{69} = -27.4889357189
x70=384.059701901x_{70} = 384.059701901
x71=−82.4668071567x_{71} = -82.4668071567
x72=−10.2101761242x_{72} = -10.2101761242
x73=−40.0553063333x_{73} = -40.0553063333
x74=−85.6083998103x_{74} = -85.6083998103
x75=−57.334065928x_{75} = -57.334065928
x76=−98.1747704247x_{76} = -98.1747704247
x77=47.9092879672x_{77} = 47.9092879672
x78=16.4933614313x_{78} = 16.4933614313
x79=−12461.9126586x_{79} = -12461.9126586
x80=−3.92699081699x_{80} = -3.92699081699
x81=68.3296402156x_{81} = 68.3296402156
x82=19.6349540849x_{82} = 19.6349540849
x83=5.49778714378x_{83} = 5.49778714378
x84=99.7455667515x_{84} = 99.7455667515
x85=52.6216769476x_{85} = 52.6216769476
x86=−24.3473430653x_{86} = -24.3473430653
x87=−68.3296402156x_{87} = -68.3296402156
x88=55.7632696012x_{88} = 55.7632696012
x89=91.8915851175x_{89} = 91.8915851175
x90=8.63937979737x_{90} = 8.63937979737
Зн. экстремумы в точках:
(-77.7544181763, 0)

(90.3207887907, 2)

(22.7765467385, 0)

(-93.4623814443, 0)

(77.7544181763, 2)

(-13.3517687778, 2)

(-71.4712328692, 0)

(33.7721210261, 2)

(-47.9092879672, 2)

(66.7588438888, 0)

(162.577419823, 2)

(69.9004365424, 0)

(-25.9181393921, 2)

(63.6172512352, 0)

(30.6305283725, 2)

(-49.480084294, 0)

(84.0376034835, 2)

(54.1924732744, 0)

(2.35619449019, 2)

(-33.7721210261, 0)

(10.2101761242, 0)

(87.1791961371, 2)

(76.1836218496, 0)

(49.480084294, 2)

(-2.35619449019, 0)

(-5.49778714378, 0)

(-55.7632696012, 0)

(60.4756585816, 0)

(-54.1924732744, 2)

(-38.4845100065, 2)

(-46.3384916404, 0)

(40.0553063333, 2)

(41.6261026601, 0)

(-32.2013246993, 2)

(-79.3252145031, 2)

(-18.0641577581, 0)

(-62.0464549084, 0)

(44.7676953137, 0)

(46.3384916404, 2)

(-11.780972451, 0)

(27.4889357189, 2)

(1973.70558462, 0)

(85.6083998103, 0)

(32.2013246993, 0)

(74.6128255228, 2)

(-63.6172512352, 2)

(-76.1836218496, 2)

(18.0641577581, 2)

(-99.7455667515, 0)

(-60.4756585816, 2)

(-90.3207887907, 0)

(-16.4933614313, 2)

(-69.9004365424, 2)

(88.7499924639, 0)

(3.92699081699, 0)

(11.780972451, 2)

(98.1747704247, 0)

(-19.6349540849, 2)

(38.4845100065, 0)

(24.3473430653, 2)

(62.0464549084, 2)

(-84.0376034835, 0)

(-35.3429173529, 2)

(-41.6261026601, 2)

(-91.8915851175, 2)

(82.4668071567, 0)

(96.6039740979, 2)

(25.9181393921, 0)

(-27.4889357189, 0)

(384.059701901, 0)

(-82.4668071567, 2)

(-10.2101761242, 2)

(-40.0553063333, 0)

(-85.6083998103, 2)

(-57.334065928, 2)

(-98.1747704247, 2)

(47.9092879672, 0)

(16.4933614313, 0)

(-12461.9126586, 1.4432899320127e-15)

(-3.92699081699, 2)

(68.3296402156, 2)

(19.6349540849, 0)

(5.49778714378, 2)

(99.7455667515, 2)

(52.6216769476, 2)

(-24.3473430653, 0)

(-68.3296402156, 0)

(55.7632696012, 2)

(91.8915851175, 0)

(8.63937979737, 2)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x90=−77.7544181763x_{90} = -77.7544181763
x90=22.7765467385x_{90} = 22.7765467385
x90=−93.4623814443x_{90} = -93.4623814443
x90=−71.4712328692x_{90} = -71.4712328692
x90=66.7588438888x_{90} = 66.7588438888
x90=69.9004365424x_{90} = 69.9004365424
x90=63.6172512352x_{90} = 63.6172512352
x90=−49.480084294x_{90} = -49.480084294
x90=54.1924732744x_{90} = 54.1924732744
x90=−33.7721210261x_{90} = -33.7721210261
x90=10.2101761242x_{90} = 10.2101761242
x90=76.1836218496x_{90} = 76.1836218496
x90=−2.35619449019x_{90} = -2.35619449019
x90=−5.49778714378x_{90} = -5.49778714378
x90=−55.7632696012x_{90} = -55.7632696012
x90=60.4756585816x_{90} = 60.4756585816
x90=−46.3384916404x_{90} = -46.3384916404
x90=41.6261026601x_{90} = 41.6261026601
x90=−18.0641577581x_{90} = -18.0641577581
x90=−62.0464549084x_{90} = -62.0464549084
x90=44.7676953137x_{90} = 44.7676953137
x90=−11.780972451x_{90} = -11.780972451
x90=1973.70558462x_{90} = 1973.70558462
x90=85.6083998103x_{90} = 85.6083998103
x90=32.2013246993x_{90} = 32.2013246993
x90=−99.7455667515x_{90} = -99.7455667515
x90=−90.3207887907x_{90} = -90.3207887907
x90=88.7499924639x_{90} = 88.7499924639
x90=3.92699081699x_{90} = 3.92699081699
x90=98.1747704247x_{90} = 98.1747704247
x90=38.4845100065x_{90} = 38.4845100065
x90=−84.0376034835x_{90} = -84.0376034835
x90=82.4668071567x_{90} = 82.4668071567
x90=25.9181393921x_{90} = 25.9181393921
x90=−27.4889357189x_{90} = -27.4889357189
x90=384.059701901x_{90} = 384.059701901
x90=−40.0553063333x_{90} = -40.0553063333
x90=47.9092879672x_{90} = 47.9092879672
x90=16.4933614313x_{90} = 16.4933614313
x90=−12461.9126586x_{90} = -12461.9126586
x90=19.6349540849x_{90} = 19.6349540849
x90=−24.3473430653x_{90} = -24.3473430653
x90=−68.3296402156x_{90} = -68.3296402156
x90=91.8915851175x_{90} = 91.8915851175
Максимумы функции в точках:
x90=90.3207887907x_{90} = 90.3207887907
x90=77.7544181763x_{90} = 77.7544181763
x90=−13.3517687778x_{90} = -13.3517687778
x90=33.7721210261x_{90} = 33.7721210261
x90=−47.9092879672x_{90} = -47.9092879672
x90=162.577419823x_{90} = 162.577419823
x90=−25.9181393921x_{90} = -25.9181393921
x90=30.6305283725x_{90} = 30.6305283725
x90=84.0376034835x_{90} = 84.0376034835
x90=2.35619449019x_{90} = 2.35619449019
x90=87.1791961371x_{90} = 87.1791961371
x90=49.480084294x_{90} = 49.480084294
x90=−54.1924732744x_{90} = -54.1924732744
x90=−38.4845100065x_{90} = -38.4845100065
x90=40.0553063333x_{90} = 40.0553063333
x90=−32.2013246993x_{90} = -32.2013246993
x90=−79.3252145031x_{90} = -79.3252145031
x90=46.3384916404x_{90} = 46.3384916404
x90=27.4889357189x_{90} = 27.4889357189
x90=74.6128255228x_{90} = 74.6128255228
x90=−63.6172512352x_{90} = -63.6172512352
x90=−76.1836218496x_{90} = -76.1836218496
x90=18.0641577581x_{90} = 18.0641577581
x90=−60.4756585816x_{90} = -60.4756585816
x90=−16.4933614313x_{90} = -16.4933614313
x90=−69.9004365424x_{90} = -69.9004365424
x90=11.780972451x_{90} = 11.780972451
x90=−19.6349540849x_{90} = -19.6349540849
x90=24.3473430653x_{90} = 24.3473430653
x90=62.0464549084x_{90} = 62.0464549084
x90=−35.3429173529x_{90} = -35.3429173529
x90=−41.6261026601x_{90} = -41.6261026601
x90=−91.8915851175x_{90} = -91.8915851175
x90=96.6039740979x_{90} = 96.6039740979
x90=−82.4668071567x_{90} = -82.4668071567
x90=−10.2101761242x_{90} = -10.2101761242
x90=−85.6083998103x_{90} = -85.6083998103
x90=−57.334065928x_{90} = -57.334065928
x90=−98.1747704247x_{90} = -98.1747704247
x90=−3.92699081699x_{90} = -3.92699081699
x90=68.3296402156x_{90} = 68.3296402156
x90=5.49778714378x_{90} = 5.49778714378
x90=99.7455667515x_{90} = 99.7455667515
x90=52.6216769476x_{90} = 52.6216769476
x90=55.7632696012x_{90} = 55.7632696012
x90=8.63937979737x_{90} = 8.63937979737
Убывает на промежутках
[1973.70558462, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -12461.9126586]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞∣sin⁡(2x)−1∣=∣⟨−2,0⟩∣\lim_{x \to -\infty} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=∣⟨−2,0⟩∣y = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|
lim⁡x→∞∣sin⁡(2x)−1∣=∣⟨−2,0⟩∣\lim_{x \to \infty} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=∣⟨−2,0⟩∣y = \left|{\langle -2, 0\rangle}\right|
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(sin(2*x) - 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x∣sin⁡(2x)−1∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right|\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x∣sin⁡(2x)−1∣)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right|\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
∣sin⁡(2x)−1∣=∣sin⁡(2x)+1∣\left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = \left|{\sin{\left (2 x \right )} + 1}\right|
- Нет
∣sin⁡(2x)−1∣=−∣sin⁡(2x)+1∣\left|{\sin{\left (2 x \right )} - 1}\right| = - \left|{\sin{\left (2 x \right )} + 1}\right|
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной