Графики функций/ Построение в 2D/ y = Abs(sin(x))

График функции y = Abs(sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = |sin(x)|
f(x)=∣sin⁡(x)∣f{\left (x \right )} = \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|
График функции
0-25000-20000-15000-10000-500050001000015000200002500002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
∣sin⁡(x)∣=0\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Численное решение
x1=−94.2477796077x_{1} = -94.2477796077
x2=31.4159265359x_{2} = 31.4159265359
x3=81.6814089933x_{3} = 81.6814089933
x4=84.8230016469x_{4} = 84.8230016469
x5=−3.14159265359x_{5} = -3.14159265359
x6=65.9734457254x_{6} = 65.9734457254
x7=−12.5663706144x_{7} = -12.5663706144
x8=15.7079632679x_{8} = 15.7079632679
x9=100.530964915x_{9} = 100.530964915
x10=50.2654824574x_{10} = 50.2654824574
x11=−53.407075111x_{11} = -53.407075111
x12=40.8407044967x_{12} = 40.8407044967
x13=−59.6902604182x_{13} = -59.6902604182
x14=97.3893722613x_{14} = 97.3893722613
x15=78.5398163397x_{15} = 78.5398163397
x16=−25.1327412287x_{16} = -25.1327412287
x17=−43.9822971503x_{17} = -43.9822971503
x18=−81.6814089933x_{18} = -81.6814089933
x19=−91.1061869541x_{19} = -91.1061869541
x20=87.9645943005x_{20} = 87.9645943005
x21=−34.5575191895x_{21} = -34.5575191895
x22=28.2743338823x_{22} = 28.2743338823
x23=−3760.48640635x_{23} = -3760.48640635
x24=−31.4159265359x_{24} = -31.4159265359
x25=37.6991118431x_{25} = 37.6991118431
x26=72.2566310326x_{26} = 72.2566310326
x27=56.5486677646x_{27} = 56.5486677646
x28=−75.3982236862x_{28} = -75.3982236862
x29=−69.115038379x_{29} = -69.115038379
x30=−6.28318530718x_{30} = -6.28318530718
x31=−9.42477796077x_{31} = -9.42477796077
x32=6.28318530718x_{32} = 6.28318530718
x33=75.3982236862x_{33} = 75.3982236862
x34=−65.9734457254x_{34} = -65.9734457254
x35=−87.9645943005x_{35} = -87.9645943005
x36=−72.2566310326x_{36} = -72.2566310326
x37=−427.256600888x_{37} = -427.256600888
x38=9.42477796077x_{38} = 9.42477796077
x39=−50.2654824574x_{39} = -50.2654824574
x40=−56.5486677646x_{40} = -56.5486677646
x41=650.309679293x_{41} = 650.309679293
x42=18.8495559215x_{42} = 18.8495559215
x43=59.6902604182x_{43} = 59.6902604182
x44=−47.1238898038x_{44} = -47.1238898038
x45=12.5663706144x_{45} = 12.5663706144
x46=62.8318530718x_{46} = 62.8318530718
x47=−21.9911485751x_{47} = -21.9911485751
x48=−37.6991118431x_{48} = -37.6991118431
x49=−97.3893722613x_{49} = -97.3893722613
x50=94.2477796077x_{50} = 94.2477796077
x51=34.5575191895x_{51} = 34.5575191895
x52=21.9911485751x_{52} = 21.9911485751
x53=−100.530964915x_{53} = -100.530964915
x54=53.407075111x_{54} = 53.407075111
x55=−78.5398163397x_{55} = -78.5398163397
x56=0x_{56} = 0
x57=43.9822971503x_{57} = 43.9822971503
x58=−285.884931477x_{58} = -285.884931477
x59=−15.7079632679x_{59} = -15.7079632679
x60=−28.2743338823x_{60} = -28.2743338823
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(sin(x)).
∣sin⁡(0)∣\left|{\sin{\left (0 \right )}}\right|
Результат:
f(0)=0f{\left (0 \right )} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))=0\cos{\left (x \right )} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−2279.22547018x_{1} = -2279.22547018
x2=−54.9778714378x_{2} = -54.9778714378
x3=39.2699081699x_{3} = 39.2699081699
x4=51.8362787842x_{4} = 51.8362787842
x5=86.3937979737x_{5} = 86.3937979737
x6=−17.2787595947x_{6} = -17.2787595947
x7=237.190245346x_{7} = 237.190245346
x8=45.5530934771x_{8} = 45.5530934771
x9=61.261056745x_{9} = 61.261056745
x10=83.2522053201x_{10} = 83.2522053201
x11=−70.6858347058x_{11} = -70.6858347058
x12=−89.5353906273x_{12} = -89.5353906273
x13=−183.783170235x_{13} = -183.783170235
x14=92.6769832809x_{14} = 92.6769832809
x15=76.9690200129x_{15} = 76.9690200129
x16=−32.9867228627x_{16} = -32.9867228627
x17=−4.71238898038x_{17} = -4.71238898038
x18=−48.6946861306x_{18} = -48.6946861306
x19=−80.1106126665x_{19} = -80.1106126665
x20=−42.4115008235x_{20} = -42.4115008235
x21=−58.1194640914x_{21} = -58.1194640914
x22=1.57079632679x_{22} = 1.57079632679
x23=−95.8185759345x_{23} = -95.8185759345
x24=17.2787595947x_{24} = 17.2787595947
x25=95.8185759345x_{25} = 95.8185759345
x26=−36.1283155163x_{26} = -36.1283155163
x27=−64.4026493986x_{27} = -64.4026493986
x28=36.1283155163x_{28} = 36.1283155163
x29=−61.261056745x_{29} = -61.261056745
x30=−92.6769832809x_{30} = -92.6769832809
x31=32.9867228627x_{31} = 32.9867228627
x32=−14.1371669412x_{32} = -14.1371669412
x33=80.1106126665x_{33} = 80.1106126665
x34=4.71238898038x_{34} = 4.71238898038
x35=10.9955742876x_{35} = 10.9955742876
x36=7.85398163397x_{36} = 7.85398163397
x37=23.5619449019x_{37} = 23.5619449019
x38=−39.2699081699x_{38} = -39.2699081699
x39=64.4026493986x_{39} = 64.4026493986
x40=−73.8274273594x_{40} = -73.8274273594
x41=20.4203522483x_{41} = 20.4203522483
x42=−26.7035375555x_{42} = -26.7035375555
x43=−83.2522053201x_{43} = -83.2522053201
x44=−98.9601685881x_{44} = -98.9601685881
x45=48.6946861306x_{45} = 48.6946861306
x46=29.8451302091x_{46} = 29.8451302091
x47=14.1371669412x_{47} = 14.1371669412
x48=98.9601685881x_{48} = 98.9601685881
x49=−45.5530934771x_{49} = -45.5530934771
x50=−51.8362787842x_{50} = -51.8362787842
x51=−67.5442420522x_{51} = -67.5442420522
x52=54.9778714378x_{52} = 54.9778714378
x53=26.7035375555x_{53} = 26.7035375555
x54=−86.3937979737x_{54} = -86.3937979737
x55=−20.4203522483x_{55} = -20.4203522483
x56=−306.305283725x_{56} = -306.305283725
x57=−7.85398163397x_{57} = -7.85398163397
x58=−76.9690200129x_{58} = -76.9690200129
x59=89.5353906273x_{59} = 89.5353906273
x60=−10.9955742876x_{60} = -10.9955742876
x61=−1.57079632679x_{61} = -1.57079632679
x62=−23.5619449019x_{62} = -23.5619449019
x63=73.8274273594x_{63} = 73.8274273594
x64=70.6858347058x_{64} = 70.6858347058
x65=0x_{65} = 0
x66=42.4115008235x_{66} = 42.4115008235
x67=67.5442420522x_{67} = 67.5442420522
x68=58.1194640914x_{68} = 58.1194640914
x69=−29.8451302091x_{69} = -29.8451302091
Зн. экстремумы в точках:
(-2279.22547018, 1)

(-54.9778714378, 1)

(39.2699081699, 1)

(51.8362787842, 1)

(86.3937979737, 1)

(-17.2787595947, 1)

(237.190245346, 1)

(45.5530934771, 1)

(61.261056745, 1)

(83.2522053201, 1)

(-70.6858347058, 1)

(-89.5353906273, 1)

(-183.783170235, 1)

(92.6769832809, 1)

(76.9690200129, 1)

(-32.9867228627, 1)

(-4.71238898038, 1)

(-48.6946861306, 1)

(-80.1106126665, 1)

(-42.4115008235, 1)

(-58.1194640914, 1)

(1.57079632679, 1)

(-95.8185759345, 1)

(17.2787595947, 1)

(95.8185759345, 1)

(-36.1283155163, 1)

(-64.4026493986, 1)

(36.1283155163, 1)

(-61.261056745, 1)

(-92.6769832809, 1)

(32.9867228627, 1)

(-14.1371669412, 1)

(80.1106126665, 1)

(4.71238898038, 1)

(10.9955742876, 1)

(7.85398163397, 1)

(23.5619449019, 1)

(-39.2699081699, 1)

(64.4026493986, 1)

(-73.8274273594, 1)

(20.4203522483, 1)

(-26.7035375555, 1)

(-83.2522053201, 1)

(-98.9601685881, 1)

(48.6946861306, 1)

(29.8451302091, 1)

(14.1371669412, 1)

(98.9601685881, 1)

(-45.5530934771, 1)

(-51.8362787842, 1)

(-67.5442420522, 1)

(54.9778714378, 1)

(26.7035375555, 1)

(-86.3937979737, 1)

(-20.4203522483, 1)

(-306.305283725, 1)

(-7.85398163397, 1)

(-76.9690200129, 1)

(89.5353906273, 1)

(-10.9955742876, 1)

(-1.57079632679, 1)

(-23.5619449019, 1)

(73.8274273594, 1)

(70.6858347058, 1)

(0, 0)

(42.4115008235, 1)

(67.5442420522, 1)

(58.1194640914, 1)

(-29.8451302091, 1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x69=0x_{69} = 0
Максимумы функции в точках:
x69=−2279.22547018x_{69} = -2279.22547018
x69=−54.9778714378x_{69} = -54.9778714378
x69=39.2699081699x_{69} = 39.2699081699
x69=51.8362787842x_{69} = 51.8362787842
x69=86.3937979737x_{69} = 86.3937979737
x69=−17.2787595947x_{69} = -17.2787595947
x69=237.190245346x_{69} = 237.190245346
x69=45.5530934771x_{69} = 45.5530934771
x69=61.261056745x_{69} = 61.261056745
x69=83.2522053201x_{69} = 83.2522053201
x69=−70.6858347058x_{69} = -70.6858347058
x69=−89.5353906273x_{69} = -89.5353906273
x69=−183.783170235x_{69} = -183.783170235
x69=92.6769832809x_{69} = 92.6769832809
x69=76.9690200129x_{69} = 76.9690200129
x69=−32.9867228627x_{69} = -32.9867228627
x69=−4.71238898038x_{69} = -4.71238898038
x69=−48.6946861306x_{69} = -48.6946861306
x69=−80.1106126665x_{69} = -80.1106126665
x69=−42.4115008235x_{69} = -42.4115008235
x69=−58.1194640914x_{69} = -58.1194640914
x69=1.57079632679x_{69} = 1.57079632679
x69=−95.8185759345x_{69} = -95.8185759345
x69=17.2787595947x_{69} = 17.2787595947
x69=95.8185759345x_{69} = 95.8185759345
x69=−36.1283155163x_{69} = -36.1283155163
x69=−64.4026493986x_{69} = -64.4026493986
x69=36.1283155163x_{69} = 36.1283155163
x69=−61.261056745x_{69} = -61.261056745
x69=−92.6769832809x_{69} = -92.6769832809
x69=32.9867228627x_{69} = 32.9867228627
x69=−14.1371669412x_{69} = -14.1371669412
x69=80.1106126665x_{69} = 80.1106126665
x69=4.71238898038x_{69} = 4.71238898038
x69=10.9955742876x_{69} = 10.9955742876
x69=7.85398163397x_{69} = 7.85398163397
x69=23.5619449019x_{69} = 23.5619449019
x69=−39.2699081699x_{69} = -39.2699081699
x69=64.4026493986x_{69} = 64.4026493986
x69=−73.8274273594x_{69} = -73.8274273594
x69=20.4203522483x_{69} = 20.4203522483
x69=−26.7035375555x_{69} = -26.7035375555
x69=−83.2522053201x_{69} = -83.2522053201
x69=−98.9601685881x_{69} = -98.9601685881
x69=48.6946861306x_{69} = 48.6946861306
x69=29.8451302091x_{69} = 29.8451302091
x69=14.1371669412x_{69} = 14.1371669412
x69=98.9601685881x_{69} = 98.9601685881
x69=−45.5530934771x_{69} = -45.5530934771
x69=−51.8362787842x_{69} = -51.8362787842
x69=−67.5442420522x_{69} = -67.5442420522
x69=54.9778714378x_{69} = 54.9778714378
x69=26.7035375555x_{69} = 26.7035375555
x69=−86.3937979737x_{69} = -86.3937979737
x69=−20.4203522483x_{69} = -20.4203522483
x69=−306.305283725x_{69} = -306.305283725
x69=−7.85398163397x_{69} = -7.85398163397
x69=−76.9690200129x_{69} = -76.9690200129
x69=89.5353906273x_{69} = 89.5353906273
x69=−10.9955742876x_{69} = -10.9955742876
x69=−1.57079632679x_{69} = -1.57079632679
x69=−23.5619449019x_{69} = -23.5619449019
x69=73.8274273594x_{69} = 73.8274273594
x69=70.6858347058x_{69} = 70.6858347058
x69=42.4115008235x_{69} = 42.4115008235
x69=67.5442420522x_{69} = 67.5442420522
x69=58.1194640914x_{69} = 58.1194640914
x69=−29.8451302091x_{69} = -29.8451302091
Убывает на промежутках
(-oo, -2279.22547018] U [0, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [237.190245346, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞∣sin⁡(x)∣=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty} \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
lim⁡x→∞∣sin⁡(x)∣=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty} \left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\langle -1, 1\rangle}\right|
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x∣sin⁡(x)∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x∣sin⁡(x)∣)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
∣sin⁡(x)∣=∣sin⁡(x)∣\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|
- Да
∣sin⁡(x)∣=−∣sin⁡(x)∣\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| = - \left|{\sin{\left (x \right )}}\right|
- Нет
значит, функция
является
чётной