Графики функций/ Построение в 2D/ y = (Abs(sin(x)))/sin(x)

График функции y = (Abs(sin(x)))/sin(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       |sin(x)|
f(x) = --------
        sin(x)
f(x)=∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
График функции
02468-8-6-4-2-10102-2
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=0\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(sin(x))/sin(x).
∣sin⁡(0)∣sin⁡(0)\frac{\left|{\sin{\left(0 \right)}}\right|}{\sin{\left(0 \right)}}
Результат:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
cos⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)−cos⁡(x)∣sin⁡(x)∣sin⁡2(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=36x_{1} = 36
x2=−72x_{2} = -72
x3=−45.7x_{3} = -45.7
x4=10x_{4} = 10
x5=86.5x_{5} = 86.5
x6=−43.6964285714286x_{6} = -43.6964285714286
x7=−90x_{7} = -90
x8=−15.75x_{8} = -15.75
x9=62x_{9} = 62
x10=−52x_{10} = -52
x11=94x_{11} = 94
x12=66x_{12} = 66
x13=64x_{13} = 64
x14=18x_{14} = 18
x15=−32x_{15} = -32
x16=−5.5x_{16} = -5.5
x17=−64x_{17} = -64
x18=−99.75x_{18} = -99.75
x19=−36x_{19} = -36
x20=−54x_{20} = -54
x21=−48x_{21} = -48
x22=14x_{22} = 14
x23=−70x_{23} = -70
x24=44.25x_{24} = 44.25
x25=−10x_{25} = -10
x26=−66x_{26} = -66
x27=28x_{27} = 28
x28=48x_{28} = 48
x29=54x_{29} = 54
x30=50x_{30} = 50
x31=−50x_{31} = -50
x32=−58x_{32} = -58
x33=−2x_{33} = -2
x34=70x_{34} = 70
x35=74x_{35} = 74
x36=−77.75x_{36} = -77.75
x37=−84x_{37} = -84
x38=22.2424242424242x_{38} = 22.2424242424242
x39=8.25x_{39} = 8.25
x40=56x_{40} = 56
x41=72x_{41} = 72
x42=−37.75x_{42} = -37.75
x43=32x_{43} = 32
x44=24.25x_{44} = 24.25
x45=52x_{45} = 52
x46=90x_{46} = 90
x47=−94x_{47} = -94
x48=−85.75x_{48} = -85.75
x49=20x_{49} = 20
x50=2x_{50} = 2
x51=−88x_{51} = -88
x52=−12x_{52} = -12
x53=−20x_{53} = -20
x54=40x_{54} = 40
x55=−18x_{55} = -18
x56=−7.75x_{56} = -7.75
x57=4x_{57} = 4
x58=76x_{58} = 76
x59=46.25x_{59} = 46.25
x60=−76x_{60} = -76
x61=58x_{61} = 58
x62=−62x_{62} = -62
x63=−28x_{63} = -28
x64=82.25x_{64} = 82.25
x65=96x_{65} = 96
x66=−30x_{66} = -30
x67=88x_{67} = 88
x68=80x_{68} = 80
x69=38.25x_{69} = 38.25
x70=−21.75x_{70} = -21.75
x71=−74x_{71} = -74
x72=84x_{72} = 84
x73=92.1666666666667x_{73} = 92.1666666666667
x74=16.1666666666667x_{74} = 16.1666666666667
x75=34.0833333333333x_{75} = 34.0833333333333
x76=98x_{76} = 98
x77=−4x_{77} = -4
x78=68x_{78} = 68
x79=78.25x_{79} = 78.25
x80=−91.75x_{80} = -91.75
x81=−68x_{81} = -68
x82=30x_{82} = 30
x83=−80x_{83} = -80
x84=−26x_{84} = -26
x85=12x_{85} = 12
x86=−23.4833333333333x_{86} = -23.4833333333333
x87=100.25x_{87} = 100.25
x88=−33.5x_{88} = -33.5
x89=5.96428571428571x_{89} = 5.96428571428571
x90=−59.75x_{90} = -59.75
x91=−40x_{91} = -40
x92=−56x_{92} = -56
x93=−42.25x_{93} = -42.25
x94=−98x_{94} = -98
x95=−14x_{95} = -14
x96=26x_{96} = 26
x97=42.25x_{97} = 42.25
x98=60.25x_{98} = 60.25
x99=−96x_{99} = -96
x100=−81.95x_{100} = -81.95
Зн. экстремумы в точках:
(36, -1)

(-72, -1)

(-45.7, -1)

(10, -1)

(86.5, -1)

(-43.69642857142857, 1)

(-90, -1)

(-15.75, 1)

(62, -1)

(-52, -1)

(94, -1)

(66, -1)

(64, 1)

(18, -1)

(-32, -1)

(-5.5, 1)

(-64, -1)

(-99.75, 1)

(-36, 1)

(-54, 1)

(-48, 1)

(14, 1)

(-70, -1)

(44.25, 1)

(-10, 1)

(-66, 1)

(28, 1)

(48, -1)

(54, -1)

(50, -1)

(-50, 1)

(-58, -1)

(-2, -1)

(70, 1)

(74, -1)

(-77.75, -1)

(-84, -1)

(22.242424242424242, -1)

(8.25, 1)

(56, -1)

(72, 1)

(-37.75, -1)

(32, 1)

(24.25, -1)

(52, 1)

(90, 1)

(-94, 1)

(-85.75, 1)

(20, 1)

(2, 1)

(-88, -1)

(-12, 1)

(-20, -1)

(40, 1)

(-18, 1)

(-7.75, -1)

(4, -1)

(76, 1)

(46.25, 1)

(-76, -1)

(58, 1)

(-62, 1)

(-28, -1)

(82.25, 1)

(96, 1)

(-30, 1)

(88, 1)

(80, -1)

(38.25, 1)

(-21.75, -1)

(-74, 1)

(84, 1)

(92.16666666666667, -1)

(16.166666666666668, -1)

(34.083333333333336, 1)

(98, -1)

(-4, 1)

(68, -1)

(78.25, 1)

(-91.75, 1)

(-68, 1)

(30, -1)

(-80, 1)

(-26, -1)

(12, -1)

(-23.483333333333334, 1)

(100.25, -1)

(-33.5, -1)

(5.964285714285714, -1)

(-59.75, 1)

(-40, -1)

(-56, 1)

(-42.25, 1)

(-98, 1)

(-14, -1)

(26, 1)

(42.25, -1)

(60.25, -1)

(-96, -1)

(-81.95, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=36x_{1} = 36
x2=−70x_{2} = -70
x3=32x_{3} = 32
x4=−94x_{4} = -94
x5=58x_{5} = 58
x6=96x_{6} = 96
x7=−74x_{7} = -74
x8=−4x_{8} = -4
x9=−33.5x_{9} = -33.5
Максимумы функции в точках:
x9=94x_{9} = 94
x9=−32x_{9} = -32
x9=−36x_{9} = -36
x9=−58x_{9} = -58
x9=70x_{9} = 70
x9=74x_{9} = 74
x9=−7.75x_{9} = -7.75
x9=4x_{9} = 4
x9=−96x_{9} = -96
Убывает на промежутках
[96,∞)\left[96, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(−∞,−94]\left(-\infty, -94\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
(1+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))∣sin⁡(x)∣−sin⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))+2cos⁡2(x)δ(sin⁡(x))−2cos⁡2(x)sign⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=lim⁡x→−∞(∣sin⁡(x)∣sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=lim⁡x→∞(∣sin⁡(x)∣sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(sin(x))/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlim⁡x→−∞(∣sin⁡(x)∣xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlim⁡x→∞(∣sin⁡(x)∣xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=−∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
- Нет
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (Abs(sin(x)))/sin(x) /media/krcore-image-pods/f/d6/1b7dc455675b357d239238e48fb76.png