График функции y = Abs((x-2)/(x-3))

Вы ввели

       |x - 2|
f(x) = |-----|
       |x - 3|

$$f{\left(x \right)} = \left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right|$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs((x - 1*2)/(x - 1*3)).
$$\left|{\frac{\left(-1\right) 2 + 0}{\left(-1\right) 3 + 0}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{2}{3}$$
Точка:

(0, 2/3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\left(\frac{1}{x - 3} - \frac{x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{x - 2}{x - 3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(2, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs((x - 1*2)/(x - 1*3)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right| = \left|{\frac{x + 2}{x + 3}}\right|$$
- Нет
$$\left|{\frac{x - 2}{x - 3}}\right| = - \left|{\frac{x + 2}{x + 3}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График