График функции y = (Abs((x-1)/(x+1)))

Вы ввели

       |x - 1|
f(x) = |-----|
       |x + 1|

$$f{\left(x \right)} = \left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right|$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs((x - 1*1)/(x + 1)).
$$\left|{\frac{\left(-1\right) 1 + 0}{0 + 1}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(- \frac{x - 1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)} + \frac{2 \operatorname{sign}{\left(\frac{x - 1}{x + 1} \right)}}{x + 1}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs((x - 1*1)/(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| = \left|{\frac{x + 1}{x - 1}}\right|$$
- Нет
$$\left|{\frac{x - 1}{x + 1}}\right| = - \left|{\frac{x + 1}{x - 1}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График