График функции y = (Abs((x+2)^2-5))

Вы ввели

       |       2    |
f(x) = |(x + 2)  - 5|

$$f{\left (x \right )} = \left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.2360679775$$
$$x_{2} = -4.2360679775$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs((x + 2)^2 - 5).
$$\left|{-5 + 2^{2}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(2 x + 4\right) \operatorname{sign}{\left (\left(x + 2\right)^{2} - 5 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, 5)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2]

Возрастает на промежутках

[-2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs((x + 2)^2 - 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right|\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right|\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right| = \left|{\left(- x + 2\right)^{2} - 5}\right|$$
- Нет
$$\left|{\left(x + 2\right)^{2} - 5}\right| = - \left|{\left(- x + 2\right)^{2} - 5}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной