График функции y = (Abs((x+5)/(x-1)))

Вы ввели

       |x + 5|
f(x) = |-----|
       |x - 1|

$$f{\left (x \right )} = \left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right|$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -5$$
Численное решение
$$x_{1} = -5$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs((x + 5)/(x - 1)).
$$\left|{\frac{5}{-1}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 5$$
Точка:

(0, 5)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{x + 5}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \operatorname{sign}{\left (\frac{x + 5}{x - 1} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right| = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs((x + 5)/(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right|\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right| = \frac{\left|{x - 5}\right|}{\left|{x + 1}\right|}$$
- Нет
$$\left|{\frac{x + 5}{x - 1}}\right| = - \frac{\left|{x - 5}\right|}{\left|{x + 1}\right|}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной