График функции y = (Abs(x+sign(x)))

Вы ввели

f(x) = |x + sign(x)|

$$f{\left (x \right )} = \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в Abs(x + sign(x)).
$$\left|{\operatorname{sign}{\left (0 \right )}}\right|$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right| = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(x + sign(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right|\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right|\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right| = \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right|$$
- Да
$$\left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right| = - \left|{x + \operatorname{sign}{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной