График функции y = acos(2+x+x^2)

Вы ввели

           /         2\
f(x) = acos\2 + x + x /

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в acos(2 + x + x^2).
$$\operatorname{acos}{\left (0^{2} + 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \operatorname{acos}{\left (2 \right )}$$
Точка:

(0, acos(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x + 1}{\sqrt{- \left(x^{2} + x + 2\right)^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1/2, acos(7/4))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{\sqrt{- \left(x^{2} + x + 2\right)^{2} + 1}} \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2} \left(x^{2} + x + 2\right)}{- \left(x^{2} + x + 2\right)^{2} + 1} + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[4]{33}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[4]{33}}{2} - \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции acos(2 + x + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )} = \operatorname{acos}{\left (x^{2} - x + 2 \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{acos}{\left (x^{2} + x + 2 \right )} = - \operatorname{acos}{\left (x^{2} - x + 2 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной