График функции y = acos(2^x)

Вы ввели

           / x\
f(x) = acos\2 /

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в acos(2^x).
$$\operatorname{acos}{\left(2^{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}}{\sqrt{1 - 2^{2 x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2^{x} \left(\frac{2^{2 x}}{1 - 2^{2 x}} + 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{\sqrt{1 - 2^{2 x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)} = \lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции acos(2^x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)} = \operatorname{acos}{\left(2^{- x} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{acos}{\left(2^{x} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(2^{- x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График