График функции y = acos(e^(-x))

Вы ввели

           / -x\
f(x) = acos\E  /

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в acos(E^(-x)).
$$\operatorname{acos}{\left (e^{- 0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{e^{- x}}{\sqrt{1 - e^{- 2 x}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{e^{- x}}{\sqrt{1 - e^{- 2 x}}} \left(1 + \frac{e^{- 2 x}}{1 - e^{- 2 x}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )} = \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции acos(E^(-x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )} = \operatorname{acos}{\left (e^{x} \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{acos}{\left (e^{- x} \right )} = - \operatorname{acos}{\left (e^{x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной