График функции y = acos(x^2-6)

Вы ввели

           / 2    \
f(x) = acos\x  - 6/

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.64575131106459$$
$$x_{2} = 2.64575131106459$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в acos(x^2 - 1*6).
$$\operatorname{acos}{\left(\left(-1\right) 6 + 0^{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \operatorname{acos}{\left(-6 \right)}$$
Точка:

(0, acos(-6))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - \left(x^{2} - 6\right)^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, acos(-1*6))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \cdot \left(\frac{2 x^{2} \left(x^{2} - 6\right)}{1 - \left(x^{2} - 6\right)^{2}} + 1\right)}{\sqrt{1 - \left(x^{2} - 6\right)^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt[4]{35}$$
$$x_{2} = \sqrt[4]{35}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt[4]{35}, \sqrt[4]{35}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt[4]{35}\right] \cup \left[\sqrt[4]{35}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции acos(x^2 - 1*6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)} = \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)}$$
- Да
$$\operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)} = - \operatorname{acos}{\left(x^{2} - 6 \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной