График функции y = acot(2*(x-1))

Вы ввели

f(x) = acot(2*(x - 1))

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в acot(2*(x - 1)).
$$\operatorname{acot}{\left (-1 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \operatorname{acot}{\left (2 \right )}$$
Точка:

(0, -acot(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{2}{4 \left(x - 1\right)^{2} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{16 x - 16}{\left(4 \left(x - 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )} = - \pi$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \pi$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции acot(2*(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )} = - \operatorname{acot}{\left (2 x + 2 \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{acot}{\left (2 \left(x - 1\right) \right )} = - -1 \operatorname{acot}{\left (2 x + 2 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной