График функции y = acot(x^(1/3))

Вы ввели

           /3 ___\
f(x) = acot\\/ x /

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в acot(x^(1/3)).
$$\operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\pi}{2}$$
Точка:

(0, pi/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\frac{2}{x \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{5}{3}}}}{9 x^{\frac{2}{3}} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} = \operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{- x} \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} = - \operatorname{acot}{\left (\sqrt[3]{- x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной