График функции y = asin(y)

Вы ввели

f(y) = asin(y)

$$f{\left (y \right )} = \operatorname{asin}{\left (y \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{asin}{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = 0$$
Численное решение
$$y_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в asin(y).
$$\operatorname{asin}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\sqrt{- y^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{y}{\left(- y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[0, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 0]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \operatorname{asin}{\left (y \right )} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{y \to \infty} \operatorname{asin}{\left (y \right )} = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции asin(y), делённой на y при y->+oo и y ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = y \lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \operatorname{asin}{\left (y \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = y \lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \operatorname{asin}{\left (y \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{asin}{\left (y \right )} = - \operatorname{asin}{\left (y \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{asin}{\left (y \right )} = - -1 \operatorname{asin}{\left (y \right )}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной