График функции y = asin(x+1)

Вы ввели

f(x) = asin(x + 1)

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в asin(x + 1).
$$\operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\pi}{2}$$
Точка:

(0, pi/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{\sqrt{- \left(x + 1\right)^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{x + 1}{\left(- \left(x + 1\right)^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \infty i$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )} = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \infty i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции asin(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )} = - \operatorname{asin}{\left (x - 1 \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{asin}{\left (x + 1 \right )} = - -1 \operatorname{asin}{\left (x - 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной