График функции y = atan(1/(3-x))

Вы ввели

           /  1  \
f(x) = atan|-----|
           \3 - x/

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(1/(3 - x)).
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- 0 + 3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
Точка:

(0, atan(1/3))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(- x + 3\right)^{2}}\right) \left(- x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{-2 + \frac{2}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) \left(x - 3\right)^{2}}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) \left(x - 3\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(1/(3 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x + 3} \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- x + 3} \right )} = - \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x + 3} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной