График функции y = atan(1/(x-5))

Вы ввели

           /    1  \
f(x) = atan|1*-----|
           \  x - 5/

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(1/(x - 1*5)).
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{\left(-1\right) 5 + 0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}$$
Точка:

(0, -atan(1/5))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \left(x - 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \left(x - 5\right)^{2}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \left(x - 5\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(1/(x - 1*5)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 5} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x - 5} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{- x - 5} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График