Графики функций/ Построение в 2D/ y = atan((1-x)/(1+x))

График функции y = atan((1-x)/(1+x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           /1 - x\
f(x) = atan|-----|
           \1 + x/
f(x)=atan⁡(−x+1x+1)f{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
atan⁡(−x+1x+1)=0\operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan((1 - x)/(1 + x)).
    /1 - 0\
atan|-----|
    \  1  /

Результат:
f(0)=π4f{\left (0 \right )} = \frac{\pi}{4}
Точка:
(0, pi/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
−−x+1(x+1)2−1x+1(−x+1)2(x+1)2+1=0\frac{- \frac{- x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)(x−1x+1−1)((x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)−1)=0\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)(x−1x+1−1)((x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)−1))=−0.5\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} - 1\right)\right) = -0.5
lim⁡x→−1+(2(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)(x−1x+1−1)((x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)−1))=−0.5\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} - 1\right)\right) = -0.5
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[0, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, 0]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1x_{1} = -1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(−x+1x+1)=−π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} = - \frac{\pi}{4}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞atan⁡(−x+1x+1)=−π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} = - \frac{\pi}{4}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan((1 - x)/(1 + x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xatan⁡(−x+1x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1xatan⁡(−x+1x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
atan⁡(−x+1x+1)=atan⁡(x+1−x+1)\operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )}
- Нет
atan⁡(−x+1x+1)=−atan⁡(x+1−x+1)\operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )} = - \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной