График функции y = atan((1-x)/x)-x

Вы ввели

           /1 - x\    
f(x) = atan|-----| - x
           \  x  /    

$$f{\left (x \right )} = - x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -1.09006150896$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan((1 - x)/x) - x.
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{0} \left(- 0 + 1\right) \right )} - 0$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \operatorname{atan}{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Точка:

(0, atan(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$-1 + \frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 1\right)}{1 + \frac{1}{x^{2}} \left(- x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(x - 1\right)}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(x - 1\right)}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)}\right)\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{1}{x} \left(x - 1\right)\right) \left(x - 1\right)}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)^{2}\right)}\right)\right) = -2$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1/2]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan((1 - x)/x) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )} = x - \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$
- Нет
$$- x + \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(- x + 1\right) \right )} = - x - - \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной