Графики функций/ Построение в 2D/ y = atan((1+x)/(1-x))

График функции y = atan((1+x)/(1-x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           /1 + x\
f(x) = atan|-----|
           \1 - x/
f(x)=atan⁡(x+1−x+1)f{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )}
График функции
02468-8-6-4-2-10105-5
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
atan⁡(x+1−x+1)=0\operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−1x_{1} = -1
Численное решение
x1=−1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan((1 + x)/(1 - x)).
atan⁡(1−0+1)\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{- 0 + 1} \right )}
Результат:
f(0)=π4f{\left (0 \right )} = \frac{\pi}{4}
Точка:
(0, pi/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1−x+1+x+1(−x+1)21+(x+1)2(−x+1)2=0\frac{\frac{1}{- x + 1} + \frac{x + 1}{\left(- x + 1\right)^{2}}}{1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(- x + 1\right)^{2}}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)2(1−x+1x−1)(1+(1−x+1x−1)(x+1)(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1))=0\frac{2}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(2(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)2(1−x+1x−1)(1+(1−x+1x−1)(x+1)(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)))=−0.5\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)\right) = -0.5
lim⁡x→1+(2(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)2(1−x+1x−1)(1+(1−x+1x−1)(x+1)(1+(x+1)2(x−1)2)(x−1)))=−0.5\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(1 + \frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x - 1}\right) \left(x + 1\right)}{\left(1 + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) \left(x - 1\right)}\right)\right) = -0.5
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках
[0, oo)
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=1x_{1} = 1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x+1−x+1)=−π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )} = - \frac{\pi}{4}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞atan⁡(x+1−x+1)=−π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )} = - \frac{\pi}{4}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan((1 + x)/(1 - x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xatan⁡(x+1−x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1xatan⁡(x+1−x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
atan⁡(x+1−x+1)=atan⁡(−x+1x+1)\operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}
- Нет
atan⁡(x+1−x+1)=−atan⁡(−x+1x+1)\operatorname{atan}{\left (\frac{x + 1}{- x + 1} \right )} = - \operatorname{atan}{\left (\frac{- x + 1}{x + 1} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной