График функции y = atan(sin(x))

Вы ввели

f(x) = atan(sin(x))

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 34.5575191894877$$
$$x_{2} = 72.2566310325652$$
$$x_{3} = -6.28318530717959$$
$$x_{4} = 47.1238898038469$$
$$x_{5} = -47.1238898038469$$
$$x_{6} = -97.3893722612836$$
$$x_{7} = -25.1327412287183$$
$$x_{8} = -72.2566310325652$$
$$x_{9} = 31.4159265358979$$
$$x_{10} = -119.380520836412$$
$$x_{11} = -9.42477796076938$$
$$x_{12} = 81.6814089933346$$
$$x_{13} = 0$$
$$x_{14} = 28.2743338823081$$
$$x_{15} = 43.9822971502571$$
$$x_{16} = 6.28318530717959$$
$$x_{17} = -34.5575191894877$$
$$x_{18} = -75.398223686155$$
$$x_{19} = 53.4070751110265$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 21.9911485751286$$
$$x_{22} = 56.5486677646163$$
$$x_{23} = -87.9645943005142$$
$$x_{24} = -62.8318530717959$$
$$x_{25} = -15.707963267949$$
$$x_{26} = 62.8318530717959$$
$$x_{27} = 389.557489045134$$
$$x_{28} = -59784.5081978138$$
$$x_{29} = -69.1150383789755$$
$$x_{30} = 103.672557568463$$
$$x_{31} = -59.6902604182061$$
$$x_{32} = 9.42477796076938$$
$$x_{33} = 182.212373908208$$
$$x_{34} = 78.5398163397448$$
$$x_{35} = 37.6991118430775$$
$$x_{36} = -43.9822971502571$$
$$x_{37} = 5274.73406537726$$
$$x_{38} = -28.2743338823081$$
$$x_{39} = -53.4070751110265$$
$$x_{40} = 65.9734457253857$$
$$x_{41} = -50.2654824574367$$
$$x_{42} = -65.9734457253857$$
$$x_{43} = -100.530964914873$$
$$x_{44} = -94.2477796076938$$
$$x_{45} = 87.9645943005142$$
$$x_{46} = 91.106186954104$$
$$x_{47} = -91.106186954104$$
$$x_{48} = -131.946891450771$$
$$x_{49} = -12.5663706143592$$
$$x_{50} = -18.8495559215388$$
$$x_{51} = -56.5486677646163$$
$$x_{52} = -37.6991118430775$$
$$x_{53} = 40.8407044966673$$
$$x_{54} = 12.5663706143592$$
$$x_{55} = 706.858347057703$$
$$x_{56} = -40.8407044966673$$
$$x_{57} = 97.3893722612836$$
$$x_{58} = -21.9911485751286$$
$$x_{59} = 15.707963267949$$
$$x_{60} = 100.530964914873$$
$$x_{61} = -31.4159265358979$$
$$x_{62} = -3.14159265358979$$
$$x_{63} = 3.14159265358979$$
$$x_{64} = 75.398223686155$$
$$x_{65} = 84.8230016469244$$
$$x_{66} = 18.8495559215388$$
$$x_{67} = 59.6902604182061$$
$$x_{68} = -84.8230016469244$$
$$x_{69} = -78.5398163397448$$
$$x_{70} = 69.1150383789755$$
$$x_{71} = 94.2477796076938$$
$$x_{72} = -81.6814089933346$$
$$x_{73} = 25.1327412287183$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(sin(x)).
$$\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi  pi 
(--, --)
 2   4  

 3*pi  -pi  
(----, ----)
  2     4   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \operatorname{atan}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График