График функции y = atan(x/(x+1))

Вы ввели

           /  x  \
f(x) = atan|-----|
           \x + 1/

$$f{\left (x \right )} = \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(x/(x + 1)).

    /0\
atan|-|
    \1/

Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{- \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x + 1}}{\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)\right) = 2$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{x \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)\right) = 2$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -1/2]

Выпуклая на промежутках

[-1/2, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )} = \frac{\pi}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{\pi}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )} = \frac{\pi}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi}{4}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x/(x + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )} = - \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{- x + 1} \right )}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left (\frac{x}{x + 1} \right )} = - -1 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{- x + 1} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной