График функции y = atan(x)-log(x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = atan(x) - log(x)
f(x)=log(x)+atan(x)f{\left (x \right )} = - \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}
График функции
02468-8-6-4-2-10105-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(x)+atan(x)=0- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=3.69258568546x_{1} = 3.69258568546
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(x) - log(x).
log(0)+atan(0)- \log{\left (0 \right )} + \operatorname{atan}{\left (0 \right )}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
1x2+11x=0\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2x(x2+1)2+1x2=0- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(log(x)+atan(x))=\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limx(log(x)+atan(x))=\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x) - log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(log(x)+atan(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(log(x)+atan(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(x)+atan(x)=log(x)atan(x)- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - \log{\left (- x \right )} - \operatorname{atan}{\left (x \right )}
- Нет
log(x)+atan(x)=1log(x)atan(x)- \log{\left (x \right )} + \operatorname{atan}{\left (x \right )} = - -1 \log{\left (- x \right )} - - \operatorname{atan}{\left (x \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной