Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
atan(x−1)=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=1
Численное решение
x1=1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(x - 1*1).
atan((−1)1+0)
Результат:
f(0)=−4π
Точка:
(0, -pi/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
(x−1)2+11=0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
−((x−1)2+1)22(x−1)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(−∞,1]
Выпуклая на промежутках
[1,∞)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞limatan(x−1)=−2π
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−2π
x→∞limatan(x−1)=2π
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=2π
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xatan(x−1))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(xatan(x−1))=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
atan(x−1)=−atan(x+1)
- Нет
atan(x−1)=atan(x+1)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной