График функции y = atan(x-1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = atan(x - 1)
f(x)=atan(x1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}
График функции
02468-8-6-4-2-10105-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
atan(x1)=0\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(x - 1*1).
atan((1)1+0)\operatorname{atan}{\left(\left(-1\right) 1 + 0 \right)}
Результат:
f(0)=π4f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{4}
Точка:
(0, -pi/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
1(x1)2+1=0\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(x1)((x1)2+1)2=0- \frac{2 \left(x - 1\right)}{\left(\left(x - 1\right)^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1x_{1} = 1

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,1]\left(-\infty, 1\right]
Выпуклая на промежутках
[1,)\left[1, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxatan(x1)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} = - \frac{\pi}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=π2y = - \frac{\pi}{2}
limxatan(x1)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} = \frac{\pi}{2}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(atan(x1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(atan(x1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
atan(x1)=atan(x+1)\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}
- Нет
atan(x1)=atan(x+1)\operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} = \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = atan(x-1) /media/krcore-image-pods/hash/xy/3/da/9db451815f0b105ceb859869bbdb2.png